Teoria della probabilità: lo spazio degli eventi

Perché una sigma-algebra rappresenta lo spazio degli eventi

In teoria della probabilità non basta indicare l’insieme dei possibili esiti di un esperimento. Bisogna anche precisare quali insiemi di esiti siano eventi legittimi, cioè oggetti ai quali abbia senso assegnare una probabilità. La nozione di sigma-algebra nasce proprio da questa esigenza: costruire uno spazio degli eventi abbastanza ricco da permettere il ragionamento probabilistico, ma abbastanza controllato da evitare incoerenze.

1. Esiti ed eventi: due livelli diversi

Il primo punto da chiarire è la distinzione fra esito elementare ed evento. Se lanciamo un dado, lo spazio campionario è

\[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}. \]

Gli elementi di \(\Omega\) sono gli esiti elementari: \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\). Ma l’evento “esce un numero pari” non è uno di questi esiti. È invece l’insieme degli esiti che rendono vera quella proposizione:

\[ A = \{2,4,6\}. \]

Dunque un evento non è, in generale, un elemento di \(\Omega\), ma un sottoinsieme di \(\Omega\). In simboli:

\[ \omega \in \Omega \qquad \text{mentre} \qquad A \subseteq \Omega. \]

Questa distinzione è essenziale. \(\Omega\) è lo spazio degli esiti possibili; lo spazio degli eventi deve invece essere una famiglia di sottoinsiemi di \(\Omega\).

Intuizione. \(\Omega\) è l’elenco dei mondi possibili. Un evento è una domanda sì/no su quei mondi. Per esempio: “il risultato è pari?”. L’evento è allora l’insieme dei mondi in cui la risposta è sì.

2. Perché non prendere \(\Omega\) stesso come spazio degli eventi?

Se identificassimo lo spazio degli eventi con \(\Omega\), nel caso del dado gli eventi sarebbero soltanto:

\[ 1,2,3,4,5,6. \]

Ma così non sapremmo dove collocare eventi come:

\[ \{2,4,6\}, \qquad \{1,3,5\}, \qquad \{1,2,3\}. \]

Questi non sono elementi di \(\Omega\), bensì sottoinsiemi di \(\Omega\). Perciò lo spazio naturale degli eventi non è \(\Omega\), ma una famiglia di sottoinsiemi di \(\Omega\).

Il candidato più immediato sarebbe l’insieme delle parti:

\[ \mathcal{P}(\Omega). \]

Nel caso del dado, \(\mathcal{P}(\Omega)\) contiene tutti i possibili eventi: l’evento impossibile \(\varnothing\), i singoletti come \(\{1\}\), eventi composti come \(\{2,4,6\}\), e l’evento certo \(\Omega\). Poiché il dado ha sei esiti, il numero totale di sottoinsiemi è

\[ |\mathcal{P}(\Omega)| = 2^6 = 64. \]

Già questo mostra che confondere \(\Omega\) con lo spazio degli eventi riduce drasticamente ciò di cui possiamo parlare.

3. Il ruolo della sigma-algebra

In probabilità, uno spazio probabilistico è una terna:

\[ (\Omega,\mathcal{F},P). \]

Qui:

\(\Omega\) è lo spazio degli esiti elementari;
\(\mathcal{F}\) è la famiglia degli eventi ammessi;
\(P\) è la probabilità definita sugli eventi di \(\mathcal{F}\).

La probabilità non è quindi, in generale, una funzione

\[ P : \Omega \to [0,1], \]

ma una funzione

\[ P : \mathcal{F} \to [0,1]. \]

La sigma-algebra \(\mathcal{F}\) è il dominio corretto della probabilità. Essa stabilisce quali sottoinsiemi di \(\Omega\) sono eventi misurabili.

Definizione. Una famiglia \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) è una sigma-algebra se:

\[ \Omega \in \mathcal{F}; \]

\[ A \in \mathcal{F} \implies A^c \in \mathcal{F}; \]

\[ A_1,A_2,A_3,\dots \in \mathcal{F} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}. \]

Queste tre condizioni non sono arbitrarie. Esse corrispondono a operazioni logiche fondamentali sugli eventi.

Se posso parlare di un evento \(A\), devo poter parlare anche del suo contrario \(A^c\). Se posso parlare degli eventi \(A_1,A_2,A_3,\dots\), devo poter parlare anche dell’evento “accade almeno uno di essi”, cioè della loro unione numerabile.

4. Che cosa va storto senza sigma-algebra?

Supponiamo di voler assegnare probabilità a una famiglia di insiemi che non sia chiusa per complementare. Potremmo avere un evento \(A\) ammesso, ma non il suo complementare \(A^c\).

Nel lancio di un dado, prendiamo l’evento:

\[ A = \{2,4,6\}. \]

Questo è l’evento “esce un numero pari”. Il suo complementare è:

\[ A^c = \{1,3,5\}. \]

Se una famiglia di eventi contenesse \(A\), ma non \(A^c\), potremmo parlare dell’evento “pari”, ma non dell’evento “non pari”. Questo sarebbe concettualmente assurdo, perché la probabilità soddisfa:

\[ P(A^c)=1-P(A). \]

Ma questa formula ha senso soltanto se anche \(A^c\) è un evento ammesso.

Analogamente, se possiamo parlare di \(A\) e di \(B\), dovremmo poter parlare anche di \(A \cup B\), cioè dell’evento “accade \(A\) oppure accade \(B\)”. Senza chiusura rispetto alle unioni, la probabilità non potrebbe nemmeno esprimere molte delle sue leggi fondamentali.

Il punto non è soltanto tecnico. La sigma-algebra è ciò che rende stabile il linguaggio degli eventi. Se un evento è una domanda sì/no, allora negare una domanda, oppure fare una disgiunzione numerabile di domande, deve produrre ancora una domanda legittima.

5. Il caso infinito numerabile

Consideriamo ora uno spazio campionario infinito numerabile:

\[ \Omega = \mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}. \]

In questo caso ogni esito elementare è un singoletto \(\{n\}\). Se vogliamo costruire una probabilità assegnando un peso a ogni singolo esito, poniamo:

\[ p_n = P(\{n\}). \]

Poiché

\[ \mathbb{N} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{n\}, \]

e i singoletti sono disgiunti, la sigma-additività impone:

\[ P(\mathbb{N}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\{n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} p_n. \]

Per avere una probabilità, deve valere:

\[ P(\mathbb{N})=1. \]

Quindi non basta assegnare a ogni esito una probabilità positiva. È necessario che la serie delle probabilità atomiche converga e abbia somma esattamente \(1\):

\[ p_n \geq 0, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} p_n = 1. \]

5.1. Perché non esiste una probabilità uniforme su \(\mathbb{N}\)

Se pretendessimo di assegnare a ogni esito la stessa probabilità positiva \(c\), avremmo:

\[ P(\mathbb{N}) = \sum_{n=1}^{\infty} c. \]

Se \(c>0\), allora

\[ c+c+c+\cdots = +\infty. \]

Se invece \(c=0\), allora

\[ 0+0+0+\cdots = 0. \]

In nessuno dei due casi otteniamo \(1\). Perciò non esiste una probabilità uniforme su un insieme infinito numerabile.

5.2. Non tutte le assegnazioni positive funzionano

Anche assegnare probabilità positive ma non uguali non garantisce automaticamente una probabilità. Per esempio, se poniamo:

\[ p_n = \frac{1}{n}, \]

allora ogni \(p_n\) è positivo, ma:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty. \]

Questa assegnazione non può definire una probabilità, perché darebbe massa totale infinita.

Se invece poniamo:

\[ p_n = \frac{1}{n^2}, \]

la serie converge, ma vale:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \]

non \(1\). Anche questa, così com’è, non è una probabilità. Può però essere normalizzata:

\[ p_n = \frac{6}{\pi^2}\frac{1}{n^2}. \]

Allora:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{\pi^2}\frac{1}{n^2} = 1. \]

Questo mostra che, nel caso infinito numerabile, assegnare probabilità ai singoli esiti richiede il controllo di una serie infinita. La positività dei singoli termini non basta.

6. Eventi numerabili e necessità della sigma-additività

Il caso numerabile chiarisce bene il motivo per cui la chiusura rispetto alle unioni numerabili è essenziale. Se ogni singoletto \(\{n\}\) è un evento, allora anche l’unione numerabile di singoletti dovrebbe essere un evento.

Per esempio:

\[ \{2,4,6,8,\dots\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{2n\}. \]

L’insieme dei numeri pari è un evento naturale. Se la nostra famiglia di eventi contenesse tutti i singoletti \(\{2n\}\), ma non la loro unione numerabile, potremmo parlare di ogni singolo numero pari, ma non dell’evento “esce un numero pari”. Sarebbe una teoria troppo povera.

La sigma-algebra impedisce questa povertà: se contiene gli eventi \(A_1,A_2,A_3,\dots\), contiene anche:

\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n. \]

In questo modo la proprietà fondamentale della probabilità,

\[ P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n), \]

quando gli \(A_n\) sono disgiunti, è sempre formulabile.

7. Il caso continuo: i punti non bastano

Nel caso continuo il problema diventa ancora più profondo. Consideriamo:

\[ \Omega = [0,1]. \]

Vogliamo rappresentare la scelta uniforme di un numero reale tra \(0\) e \(1\). Allora ogni singolo punto ha probabilità zero:

\[ P(\{x\})=0 \qquad \text{per ogni } x\in[0,1]. \]

Tuttavia l’intero intervallo ha probabilità uno:

\[ P([0,1])=1. \]

Questo non è contraddittorio, perché:

\[ [0,1] = \bigcup_{x\in[0,1]} \{x\} \]

è un’unione non numerabile. La sigma-additività vale per unioni numerabili, non per unioni arbitrarie non numerabili.

Nel caso numerabile, invece:

\[ \mathbb{N} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{n\} \]

è un’unione numerabile. Perciò, su \(\mathbb{N}\), la massa totale è davvero la somma delle masse dei singoli punti. Su \([0,1]\), no.

In uno spazio numerabile i punti “contano”: la probabilità totale si ottiene sommando le probabilità dei singoletti. In uno spazio continuo, i singoli punti possono avere probabilità zero e tuttavia insiemi grandi, come gli intervalli, possono avere probabilità positiva.

8. Perché non prendere sempre tutti i sottoinsiemi?

A questo punto si potrebbe pensare: se gli eventi sono sottoinsiemi di \(\Omega\), perché non prendere sempre tutta \(\mathcal{P}(\Omega)\)?

Nei casi finiti questo funziona perfettamente. Anche in molti casi numerabili si può definire una probabilità su tutta \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\). Ma negli spazi continui, come \(\mathbb{R}\) o \([0,1]\), sorgono difficoltà profonde.

Vorremmo una misura di lunghezza \(\lambda\) tale che:

\[ \lambda([a,b])=b-a. \]

Vorremmo inoltre che fosse non negativa, numerabilmente additiva e invariante per traslazioni. Ma non è possibile definire una tale misura su tutti i sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\).

Esistono insiemi troppo irregolari, detti non misurabili. L’esempio classico è l’insieme di Vitali.

8.1. L’idea dell’insieme di Vitali

Su \([0,1]\), consideriamo la relazione:

\[ x \sim y \quad \Longleftrightarrow \quad x-y \in \mathbb{Q}. \]

Due numeri sono equivalenti se differiscono per un razionale. Questa relazione divide \([0,1]\) in classi di equivalenza. Usando l’assioma della scelta, si seleziona un rappresentante da ciascuna classe. L’insieme ottenuto si chiama insieme di Vitali, e lo denotiamo con \(V\).

Ora consideriamo i traslati razionali:

\[ V+q = \{v+q : v\in V\}, \qquad q\in\mathbb{Q}. \]

Traslati distinti sono disgiunti. Inoltre, scegliendo \(q\) in un insieme numerabile di razionali, l’unione di questi traslati copre \([0,1]\) ed è contenuta in un intervallo limitato, per esempio \([-1,2]\).

Se \(V\) fosse misurabile e la misura fosse invariante per traslazioni, tutti i traslati \(V+q\) avrebbero la stessa misura:

\[ \lambda(V+q)=\lambda(V). \]

Chiamiamo questo valore \(c\). Poiché abbiamo un’unione numerabile di insiemi disgiunti, la misura dell’unione sarebbe:

\[ \sum c. \]

Se \(c=0\), l’unione avrebbe misura zero, ma contiene \([0,1]\), che ha misura \(1\). Se \(c>0\), l’unione avrebbe misura infinita, ma è contenuta in un intervallo di misura finita. In entrambi i casi si ottiene una contraddizione.

Dunque \(V\) non può essere misurabile. Questo mostra che, su spazi continui, \(\mathcal{P}(\Omega)\) è troppo grande per essere sempre il dominio di una misura ragionevole.

9. La sigma-algebra come via intermedia

La sigma-algebra è la soluzione equilibrata a due esigenze opposte.

Da un lato, non possiamo prendere una famiglia troppo piccola di eventi, altrimenti mancano complementi, unioni e intersezioni necessarie al ragionamento probabilistico.

Dall’altro lato, negli spazi continui non possiamo prendere sempre tutti i sottoinsiemi, perché alcuni sono troppo patologici per ricevere una misura coerente.

La sigma-algebra sta in mezzo:

\[ \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega). \]

È abbastanza ampia da contenere gli eventi rilevanti e abbastanza strutturata da permettere la definizione rigorosa di una misura.

Su \(\mathbb{R}\), una sigma-algebra fondamentale è quella boreliana:

\[ \mathcal{B}(\mathbb{R}). \]

Essa è la più piccola sigma-algebra che contiene tutti gli intervalli aperti. Contiene quindi tutti gli insiemi ottenibili dagli intervalli tramite complementi, unioni numerabili e intersezioni numerabili.

Per molte applicazioni si usa anche la sigma-algebra di Lebesgue, più ampia di quella boreliana ma ancora non coincidente con tutta \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\).

10. Una sintesi concettuale

Possiamo ora riassumere il percorso.

Lo spazio \(\Omega\) non è lo spazio degli eventi, ma lo spazio degli esiti elementari. Gli eventi sono sottoinsiemi di \(\Omega\). Per questo la probabilità non è definita, in generale, sugli elementi di \(\Omega\), ma su una famiglia di sottoinsiemi:

\[ P : \mathcal{F} \to [0,1]. \]

Nel caso finito, spesso possiamo prendere:

\[ \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega). \]

Nel caso infinito numerabile, possiamo ancora spesso lavorare su tutta \(\mathcal{P}(\Omega)\), ma assegnare probabilità ai singoli esiti richiede che la serie delle masse sia normalizzata:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}p_n=1. \]

Nel caso continuo, invece, le probabilità dei singoli punti non bastano a descrivere la misura, e non tutti i sottoinsiemi possono essere misurabili. Occorre quindi scegliere una sigma-algebra adatta.

La sigma-algebra non è un dettaglio tecnico accessorio. È il modo rigoroso di dire quali eventi esistono all’interno del modello probabilistico. Essa permette di passare dagli esiti elementari alle domande significative sugli esiti, garantendo che queste domande siano stabili rispetto alle operazioni logiche fondamentali e compatibili con la definizione di misura.

In breve:

\[ \Omega = \text{spazio degli esiti}, \]

\[ \mathcal{F} = \text{spazio degli eventi misurabili}, \]

\[ P = \text{misura di probabilità definita sugli eventi}. \]

La probabilità non misura direttamente il mondo come collezione di punti isolati; misura insiemi di possibilità, cioè eventi. La sigma-algebra è precisamente la struttura che stabilisce quali di questi insiemi siano legittimamente misurabili.