Sopravvivenza di una macchina e rischio di guasto
Sopravvivere oltre la media: quando una macchina può essere considerata “buona”?
Supponiamo di avere una macchina scelta all’interno di un insieme di macchine simili. Di queste macchine conosciamo, almeno in modo approssimativo, una vita media. La domanda apparentemente semplice è: se una macchina sopravvive oltre la media, possiamo considerarla una buona macchina?
La risposta intuitiva sarebbe sì: se supera la media, allora ha già fatto meglio di molte altre. Tuttavia, dal punto di vista probabilistico, la questione è più sottile. Sopravvivere oltre la media è certamente un’informazione positiva, ma non basta da sola per stabilire se convenga continuare a usare quella macchina. Bisogna distinguere almeno tre piani:
- la distribuzione statistica dei tempi di vita delle macchine considerate;
- l’eventuale informazione bayesiana sulla qualità nascosta della macchina o del lotto di appartenenza;
- il rischio fisico di guasto, che può aumentare con l’età.
Il problema diventa quindi duplice. Da un lato ci chiediamo se la sopravvivenza oltre la media sia evidenza di qualità. Dall’altro ci chiediamo se, proprio perché la macchina è ormai vecchia, il rischio di rottura stia aumentando al punto da renderne razionale la sostituzione.
1. La variabile fondamentale: il tempo di vita
Indichiamo con \(T\) il tempo di vita della macchina:
\[ T=\text{tempo di vita della macchina}, \qquad T\geq 0. \]Il fatto che \(T\) sia non negativo è importante. Una distribuzione gaussiana può essere usata solo come approssimazione, perché una normale assegna sempre probabilità anche a valori negativi:
\[ T\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2). \]Questa ipotesi può essere accettabile solo quando la vita media è molto maggiore della deviazione standard:
\[ \mu \gg \sigma. \]In generale, però, per i tempi di vita di macchine, componenti o sistemi tecnici sono più naturali distribuzioni positive e spesso asimmetriche, come l’esponenziale, la Weibull o la lognormale.
Lo strumento più importante è la funzione di sopravvivenza:
\[ S(t)=P(T>t). \]Essa indica la probabilità che la macchina sopravviva oltre il tempo \(t\). Per esempio, se \(S(1000)=0.70\), significa che il 70% delle macchine dell’insieme considerato sopravvive oltre 1000 ore.
La funzione di sopravvivenza è più informativa della sola media, perché due popolazioni possono avere la stessa vita media ma distribuzioni molto diverse: una può avere guasti concentrati intorno alla media, un’altra può avere molti guasti precoci e pochi casi molto longevi.
2. Media, mediana e significato del “sopravvivere oltre la media”
Indichiamo la vita media con:
\[ \mu=E[T]. \]Se una macchina è ancora funzionante al tempo \(t=\mu\), allora sappiamo:
\[ T>\mu. \]Questo è un dato positivo, ma non deve essere interpretato in modo ingenuo. La media non è necessariamente il punto in cui metà delle macchine sono già guaste e metà ancora funzionanti. Quel punto è la mediana \(m\), definita da:
\[ P(T>m)=0.5. \]La media, invece, può essere espressa tramite la funzione di sopravvivenza:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty} S(t)\,dt. \]In distribuzioni asimmetriche, media e mediana possono essere molto diverse. Quindi dire che una macchina ha superato la media non equivale sempre a dire che appartiene al miglior 50% della popolazione.
La domanda corretta non è soltanto se la macchina abbia superato la media, ma quanto sia probabile che sopravviva ancora:
\[ P(T>b\mid T>a), \]dove \(a\) è l’età attuale della macchina e \(b\) è una soglia futura.
Per esempio, se \(a=\mu+\sigma\) e \(b=\mu+3\sigma\), la domanda diventa:
\[ P(T>\mu+3\sigma\mid T>\mu+\sigma). \]Cioè: sapendo che la macchina è già sopravvissuta fino a una vita superiore alla media di una deviazione standard, qual è la probabilità che arrivi addirittura a tre deviazioni standard sopra la media?
3. La formula fondamentale della sopravvivenza condizionata
La probabilità condizionata è:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \]Poniamo \(A=\{T>b\}\) e \(B=\{T>a\}\), con \(b>a\). Se una macchina sopravvive oltre \(b\), allora è sopravvissuta anche oltre \(a\). Quindi \(A\subset B\), e perciò \(A\cap B=A\). Ne segue:
\[ P(T>b\mid T>a)=\frac{P(T>b)}{P(T>a)}. \]Poiché \(S(t)=P(T>t)\), otteniamo:
\[ \boxed{P(T>b\mid T>a)=\frac{S(b)}{S(a)}}. \]Nel caso specifico:
\[ \boxed{ P(T>\mu+3\sigma\mid T>\mu+\sigma) = \frac{S(\mu+3\sigma)}{S(\mu+\sigma)} }. \]Questa formula vale qualunque sia la distribuzione del tempo di vita, purché la funzione di sopravvivenza sia ben definita.
4. Distribuzioni utili: esponenziale, Weibull, lognormale
4.1 Distribuzione esponenziale
La distribuzione esponenziale è:
\[ T\sim \operatorname{Exp}(\lambda), \qquad S(t)=e^{-\lambda t}. \]In questo caso:
\[ P(T>b\mid T>a)=\frac{e^{-\lambda b}}{e^{-\lambda a}}=e^{-\lambda(b-a)}. \]L’esponenziale ha la proprietà di assenza di memoria:
\[ P(T>a+x\mid T>a)=P(T>x). \]Ciò significa che, dato che la macchina è viva al tempo \(a\), la sua vita residua probabilistica è uguale a quella di una macchina nuova. Questo modello è adatto a guasti casuali, improvvisi, non legati all’usura.
4.2 Distribuzione Weibull
La Weibull è molto usata nei problemi di affidabilità:
\[ T\sim \operatorname{Weibull}(k,\lambda), \qquad k>0,\quad \lambda>0. \]La funzione di sopravvivenza è:
\[ S(t)=e^{-(t/\lambda)^k}. \]La probabilità condizionata di sopravvivere da \(a\) a \(b\) è:
\[ \boxed{ P(T>b\mid T>a) = e^{-\left[\left(\frac{b}{\lambda}\right)^k-\left(\frac{a}{\lambda}\right)^k\right]} }. \]Il parametro \(k\) è decisivo:
- se \(k=1\), la Weibull coincide con l’esponenziale;
- se \(k>1\), il rischio di guasto cresce con l’età;
- se \(k<1\), il rischio diminuisce con l’età.
Per macchine soggette a usura, il caso più naturale è spesso \(k>1\).
4.3 Distribuzione lognormale
La lognormale è definita da:
\[ \log T\sim \mathcal{N}(m,s^2). \]Essa è adatta quando il tempo di vita dipende dal prodotto di molti fattori casuali: qualità dei componenti, condizioni ambientali, carichi, vibrazioni, temperatura, manutenzione e intensità d’uso.
La lognormale ha coda destra lunga: molte macchine si rompono in un intervallo ordinario, ma alcune sopravvivono molto più a lungo. Tuttavia, per descrivere in modo semplice l’aumento del rischio con l’età, la Weibull è spesso più trasparente.
5. Il rischio istantaneo di guasto
Per decidere se una macchina vecchia sia ancora conveniente, non basta conoscere \(S(t)\). Serve anche il tasso istantaneo di guasto, o hazard rate:
\[ \boxed{h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}}. \]Qui \(f(t)\) è la densità del tempo di guasto. Il significato intuitivo è:
\[ h(t)\,dt \approx P(t \lt T \leq t+dt \mid T \gt t). \]Cioè: sapendo che la macchina è ancora funzionante al tempo \(t\), la quantità \(h(t)\,dt\) approssima la probabilità che essa si rompa nel piccolo intervallo successivo, compreso tra \(t\) e \(t+dt\).
Nel caso Weibull:
\[ S(t)=e^{-(t/\lambda)^k}, \qquad f(t)=\frac{k}{\lambda} \left(\frac{t}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(t/\lambda)^k}. \]Quindi:
\[ \boxed{ h(t)= \frac{k}{\lambda} \left(\frac{t}{\lambda}\right)^{k-1} }. \]Se \(k=2\), il rischio cresce linearmente:
\[ h(t)=\frac{2t}{\lambda^2}. \]Se \(k=3\), cresce quadraticamente:
\[ h(t)=\frac{3t^2}{\lambda^3}. \]Questo punto è essenziale: una macchina che ha superato la media può essere una buona macchina rispetto alla popolazione iniziale, ma, se il rischio cresce con l’età, può comunque essere vicina a una fase di guasto più probabile.
6. Due interpretazioni della “bontà” della macchina
Esistono due modi diversi di intendere la frase “questa è una buona macchina”.
6.1 Bontà come tempo finale di vita
Nel primo senso, una macchina è buona semplicemente se dura molto. Allora la qualità coincide con il tempo finale di vita:
\[ \text{macchina migliore} \iff T \text{ più grande}. \]In questo caso non è necessario introdurre un parametro nascosto. Si può lavorare direttamente con la funzione di sopravvivenza:
\[ P(T>b\mid T>a)=\frac{S(b)}{S(a)}. \]Questo approccio è adatto quando le macchine possono essere considerate sostanzialmente omogenee: stesso lotto, stesso uso, stessa manutenzione, stesso ambiente, stessa storia produttiva.
6.2 Bontà come qualità nascosta
Nel secondo senso, invece, una macchina è buona perché possiede una qualità intrinseca non direttamente osservabile: migliori materiali, minori difetti di produzione, migliore assemblaggio, condizioni d’uso meno gravose, manutenzione più accurata.
In questo caso introduciamo un parametro nascosto:
\[ \Theta=\text{qualità, robustezza o fragilità della macchina}. \]Il tempo di vita è allora distribuito condizionatamente a \(\Theta\):
\[ T\mid \Theta=\theta \sim F_{\theta}. \]La sopravvivenza oltre una certa soglia non è più soltanto un fatto descrittivo; diventa un’informazione che aggiorna la nostra credenza su \(\Theta\).
Per Bayes:
\[ \boxed{ \pi(\theta\mid T>a) = \frac{S(a\mid \theta)\pi(\theta)} {\int S(a\mid u)\pi(u)\,du} }. \]Questa formula dice che i valori di \(\theta\) che rendevano improbabile la sopravvivenza fino ad \(a\) vengono penalizzati, mentre i valori compatibili con una lunga sopravvivenza diventano più credibili.
Dunque l’approccio bayesiano non richiede una distinzione rozza tra “macchine buone” e “macchine cattive”. Può funzionare anche con gradi continui di qualità.
7. Quando l’approccio bayesiano è migliore?
L’approccio bayesiano è particolarmente utile quando l’insieme delle macchine non è davvero omogeneo. La sua utilità dipende quindi dall’insieme di riferimento che scegliamo.
Se consideriamo un insieme di macchine veramente simili, prodotte nello stesso modo, usate nello stesso ambiente e sottoposte alla stessa manutenzione, allora può bastare un modello diretto di sopravvivenza:
\[ P(T>b\mid T>a)=\frac{S(b)}{S(a)}. \]In questo caso la sopravvivenza oltre la media viene valutata direttamente dentro la distribuzione empirica dei tempi di vita.
Se invece l’insieme contiene macchine non identiche, oppure macchine provenienti da lotti diversi, oppure macchine sottoposte a condizioni d’uso diverse, l’approccio bayesiano diventa più informativo. In tal caso la sopravvivenza osservata serve anche per inferire a quale sottopopolazione o livello di qualità appartenga la macchina.
Le condizioni tipiche in cui Bayes è migliore sono:
- presenza di lotti diversi, alcuni forse difettosi e altri no;
- macchine usate in ambienti diversi, per esempio caldo, polvere, umidità, vibrazioni;
- manutenzione diversa tra macchine;
- incertezza sui parametri della distribuzione di sopravvivenza;
- pochi dati disponibili;
- presenza di dati censurati, cioè macchine ancora funzionanti;
- necessità di aggiornare progressivamente la stima della qualità.
In forma generale, la probabilità predittiva bayesiana è:
\[ \boxed{ P(T>b\mid T>a,D) = \int \frac{S(b\mid \theta)}{S(a\mid \theta)} \,d\Pi(\theta\mid D) }. \]Qui \(D\) rappresenta i dati storici osservati e \(\theta\) rappresenta i parametri ignoti, per esempio il lotto, il livello di fragilità, il tasso di guasto o i parametri della Weibull.
8. Primo caso: macchine omogenee
Consideriamo un insieme di macchine realmente simili. Stesso modello, stesso lotto, stesso ambiente d’uso, stessa manutenzione. In questo caso non abbiamo forti ragioni per pensare che una macchina appartenga a una sottopopolazione nascosta diversa dalle altre.
Supponiamo che il tempo di vita sia modellato da una Weibull con:
\[ k=2,\qquad \lambda=1000. \]Allora:
\[ S(t)=e^{-(t/1000)^2}. \]La vita media della Weibull è:
\[ \mu=\lambda\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right). \]Con \(k=2\):
\[ \mu=1000\Gamma(1.5)\approx 886. \]La deviazione standard è circa:
\[ \sigma\approx 464. \]Consideriamo:
\[ a=\mu+\sigma\approx 1350, \qquad b=\mu+3\sigma\approx 2278. \]La probabilità condizionata di sopravvivere fino a \(b\), sapendo che la macchina è già viva ad \(a\), è:
\[ P(T>2278\mid T>1350) = \frac{S(2278)}{S(1350)}. \]Usando la Weibull:
\[ P(T>2278\mid T>1350) = e^{-\left[(2278/1000)^2-(1350/1000)^2\right]}. \]Poiché:
\[ (2278/1000)^2\approx 5.189, \qquad (1350/1000)^2\approx 1.8225, \]otteniamo:
\[ P(T>2278\mid T>1350) = e^{-(5.189-1.8225)} = e^{-3.3665} \approx 0.0345. \]Quindi:
\[ \boxed{ P(T>\mu+3\sigma\mid T>\mu+\sigma)\approx 3.45\%. } \]In questo primo caso non è necessario introdurre un forte apparato bayesiano. La macchina viene giudicata all’interno di un insieme omogeneo, e la domanda essenziale è semplicemente: tra le macchine che sono già arrivate a \(1350\) ore, quante arrivano a \(2278\)?
La risposta è: secondo questo modello, circa il 3.45%. La macchina che ha superato \(\mu+\sigma\) ha fatto meglio della media, ma non è molto probabile che arrivi fino a \(\mu+3\sigma\).
9. Secondo caso: macchine eterogenee o lotti diversi
Consideriamo ora una situazione diversa. Le macchine sembrano simili, ma sappiamo che potrebbero provenire da due lotti:
- un lotto buono \(G\), senza difetti rilevanti;
- un lotto difettoso \(F\), con maggiore rischio di guasto.
Prima di osservare la macchina, supponiamo:
\[ P(G)=0.6,\qquad P(F)=0.4. \]Supponiamo inoltre che, condizionatamente al lotto, i tempi di vita siano esponenziali:
\[ T\mid G\sim \operatorname{Exp}(0.001), \qquad T\mid F\sim \operatorname{Exp}(0.003). \]Il lotto buono ha vita media:
\[ \frac{1}{0.001}=1000. \]Il lotto difettoso ha vita media:
\[ \frac{1}{0.003}\approx 333. \]Ora osserviamo che una macchina è ancora viva al tempo:
\[ a=800. \]Questo dato aggiorna la probabilità che provenga dal lotto buono. Per Bayes:
\[ P(G\mid T>800) = \frac{P(T>800\mid G)P(G)} {P(T>800\mid G)P(G)+P(T>800\mid F)P(F)}. \]Calcoliamo:
\[ P(T>800\mid G)=e^{-0.001\cdot 800}=e^{-0.8}\approx 0.449, \] \[ P(T>800\mid F)=e^{-0.003\cdot 800}=e^{-2.4}\approx 0.091. \]Quindi:
\[ P(G\mid T>800) = \frac{0.449\cdot 0.6} {0.449\cdot 0.6+0.091\cdot 0.4}. \]Sviluppando:
\[ P(G\mid T>800) = \frac{0.2694}{0.2694+0.0364} = \frac{0.2694}{0.3058} \approx 0.881. \]Dunque:
\[ \boxed{ P(G\mid T>800)\approx 88.1\%. } \]Prima di osservare la sopravvivenza, la probabilità che la macchina fosse del lotto buono era il 60%. Dopo avere osservato che è ancora viva a 800 ore, questa probabilità sale all’88.1%.
Questo è il punto in cui l’approccio bayesiano aggiunge qualcosa rispetto alla sola sopravvivenza condizionata: la sopravvivenza non ci dice solo che la macchina è arrivata a 800 ore, ma aggiorna anche la nostra opinione sul lotto di appartenenza.
Ora chiediamoci qual è la probabilità che la macchina arrivi a 1200 ore, sapendo che è viva a 800.
Se proviene dal lotto buono:
\[ P(T>1200\mid T>800,G) = e^{-0.001(1200-800)} = e^{-0.4} \approx 0.670. \]Se proviene dal lotto difettoso:
\[ P(T>1200\mid T>800,F) = e^{-0.003(1200-800)} = e^{-1.2} \approx 0.301. \]Dopo l’aggiornamento bayesiano:
\[ P(G\mid T>800)\approx 0.881, \qquad P(F\mid T>800)\approx 0.119. \]La probabilità predittiva è:
\[ P(T>1200\mid T>800) = 0.670\cdot 0.881 + 0.301\cdot 0.119. \]Calcolando:
\[ P(T>1200\mid T>800) \approx 0.590+0.036 = 0.626. \]Quindi:
\[ \boxed{ P(T>1200\mid T>800)\approx 62.6\%. } \]In questo secondo caso, la sopravvivenza a 800 ore non viene interpretata soltanto come una posizione avanzata nella curva di sopravvivenza. Viene interpretata anche come evidenza che la macchina probabilmente non appartiene al lotto difettoso.
10. Gradi continui di bontà
Il modello a due lotti, buono e difettoso, è utile didatticamente, ma la realtà può essere continua. Le macchine possono avere gradi diversi di affidabilità. Non esistono solo “buone” e “cattive”, ma una scala continua di fragilità.
Possiamo rappresentare questa scala con un parametro \(\Theta\), per esempio un tasso di guasto:
\[ T\mid \Theta=\theta \sim \operatorname{Exp}(\theta). \]Valori bassi di \(\theta\) indicano macchine più affidabili; valori alti indicano macchine più fragili.
Prima di osservare la macchina, abbiamo una distribuzione a priori \(\pi(\theta)\). Se osserviamo che la macchina è viva al tempo \(a\), aggiorniamo:
\[ \boxed{ \pi(\theta\mid T>a) = \frac{e^{-\theta a}\pi(\theta)} {\int_{0}^{\infty} e^{-ua}\pi(u)\,du} }. \]Questa formula penalizza i valori elevati di \(\theta\), perché una macchina molto fragile avrebbe avuto bassa probabilità di sopravvivere fino ad \(a\).
La probabilità predittiva di sopravvivere oltre \(b\) diventa:
\[ \boxed{ P(T>b\mid T>a) = \int_{0}^{\infty} e^{-\theta(b-a)} \pi(\theta\mid T>a)\,d\theta }. \]Dunque l’approccio bayesiano non perde interesse se la bontà non è discreta. Al contrario, diventa più realistico, perché consente di rappresentare una qualità continua.
Tuttavia bisogna evitare una confusione: se per “bontà” intendiamo semplicemente il tempo finale di vita, allora non serve necessariamente introdurre \(\Theta\). Ma finché la macchina è ancora viva, noi non conosciamo il suo tempo finale \(T\); conosciamo solo l’informazione censurata \(T>a\). Per questo la previsione futura resta un problema probabilistico.
11. Qualità nascosta e rischio crescente: due effetti da tenere separati
La sopravvivenza oltre la media produce un effetto positivo: rende più plausibile che la macchina sia di buona qualità, o che appartenga a un lotto non difettoso. Ma l’età produce un effetto diverso: se il rischio di guasto cresce nel tempo, allora una macchina vecchia è più esposta a rottura imminente.
Questi due effetti possono coesistere:
\[ T>a \quad \Rightarrow \quad \text{evidenza positiva sulla qualità}, \]ma anche:
\[ h(a) \text{ alto} \quad \Rightarrow \quad \text{rischio futuro elevato}. \]Una formulazione generale consiste nell’introdurre un rischio condizionato:
\[ h(t\mid \theta). \]Qui \(t\) è l’età della macchina e \(\theta\) rappresenta la qualità o fragilità individuale. Un modello semplice è:
\[ h(t\mid \theta)=\theta h_0(t). \]In questa formula \(h_0(t)\) rappresenta il rischio di base dovuto all’età, mentre \(\theta\) moltiplica il rischio e rappresenta la fragilità della macchina.
Dopo avere osservato che la macchina è viva al tempo \(a\), il rischio predittivo è una media bayesiana:
\[ \boxed{ h_{\text{pred}}(t\mid T>a) = \int h(t\mid \theta)\,\pi(\theta\mid T>a)\,d\theta }. \]Questa formula tiene insieme i due aspetti:
- la sopravvivenza fino ad \(a\) aggiorna positivamente la stima della qualità;
- il rischio di base \(h_0(t)\) può comunque crescere con l’età.
Quindi non bisogna concludere:
\[ T>\mu \quad \Rightarrow \quad \text{macchina sicuramente da mantenere}. \]La conclusione corretta è:
\[ T>\mu \quad \Rightarrow \quad \text{evidenza favorevole sulla qualità relativa}, \]ma:
\[ h(t) \text{ crescente} \quad \Rightarrow \quad \text{necessità di valutare il rischio futuro}. \]12. Collegamento con de Finetti e scambiabilità
L’approccio bayesiano può essere collegato all’idea di scambiabilità di de Finetti. Supponiamo di osservare una sequenza di tempi di vita:
\[ T_1,T_2,\ldots,T_n. \]Se prima di osservare i dati non abbiamo ragioni per distinguere una macchina dall’altra, possiamo considerare la sequenza scambiabile. La scambiabilità significa che la probabilità congiunta non cambia se permutiamo l’ordine delle osservazioni:
\[ P(T_1=t_1,\ldots,T_n=t_n) = P(T_1=t_{\pi(1)},\ldots,T_n=t_{\pi(n)}). \]L’idea di de Finetti è che una sequenza scambiabile può essere rappresentata come una miscela di sequenze indipendenti e identicamente distribuite condizionate a un parametro nascosto:
\[ \boxed{ P(T_1,\ldots,T_n) = \int \prod_{i=1}^{n} P(T_i\mid \theta)\,d\Pi(\theta) }. \]Nel nostro problema, \(\theta\) può rappresentare i parametri della distribuzione dei tempi di vita, oppure la qualità del lotto, oppure la fragilità media di una sottopopolazione.
Se usiamo una Weibull:
\[ \theta=(k,\lambda), \qquad T_i\mid k,\lambda\sim \operatorname{Weibull}(k,\lambda). \]Dopo avere osservato i dati \(D\), aggiorniamo:
\[ \boxed{ \Pi(\theta\mid D)\propto L(D\mid \theta)\Pi(\theta) }. \]Se tutte le macchine osservate si sono rotte, la verosimiglianza è:
\[ L(D\mid \theta)=\prod_{i=1}^{n} f(t_i\mid \theta). \]Se invece alcune macchine sono ancora vive, abbiamo dati censurati. Se una macchina è ancora funzionante al tempo \(c_j\), il suo contributo non è una densità ma una sopravvivenza:
\[ S(c_j\mid \theta). \]Se \(F\) è l’insieme delle macchine guaste e \(C\) quello delle macchine ancora funzionanti:
\[ \boxed{ L(D\mid \theta) = \prod_{i\in F} f(t_i\mid \theta) \prod_{j\in C} S(c_j\mid \theta) }. \]Per una macchina specifica viva al tempo \(a\), la probabilità predittiva di sopravvivere oltre \(b\) è:
\[ \boxed{ P(T>b\mid T>a,D) = \int \frac{S(b\mid \theta)}{S(a\mid \theta)} \,d\Pi(\theta\mid D) }. \]Questa formula mostra il vantaggio dell’approccio bayesiano: non si limita a usare una curva media di sopravvivenza, ma tiene conto dell’incertezza sui parametri e dell’eventuale eterogeneità nascosta.
13. Decisione economica: mantenere o sostituire?
La probabilità di sopravvivenza non basta per prendere una decisione. Bisogna confrontare il valore d’uso della macchina con il costo atteso del guasto.
Introduciamo:
- \(C_P\): costo di sostituzione preventiva;
- \(C_F\): costo di guasto improvviso;
- \(v\): valore prodotto dalla macchina per unità di tempo.
Di solito:
\[ C_F>C_P, \]perché una rottura improvvisa può causare fermo produzione, danni secondari, urgenze, penali o rischi di sicurezza.
Se la macchina ha età \(a\), la probabilità che si rompa prima di una soglia futura \(\tau\) è:
\[ P(T\leq \tau\mid T>a)=1-\frac{S(\tau)}{S(a)}. \]La probabilità che sopravviva fino a \(\tau\) è:
\[ P(T>\tau\mid T>a)=\frac{S(\tau)}{S(a)}. \]Il costo netto atteso del mantenimento fino a \(\tau\) può essere scritto:
\[ \boxed{ E[C_{\text{netto}}(\tau)] = C_F\left(1-\frac{S(\tau)}{S(a)}\right) + C_P\frac{S(\tau)}{S(a)} – v\int_{a}^{\tau}\frac{S(t)}{S(a)}\,dt }. \]Questa formula confronta il costo del guasto, il costo della sostituzione programmata e il beneficio derivante dall’uso continuato della macchina.
Una regola marginale più semplice è:
\[ \boxed{v>C_Fh(t)}. \]Conviene mantenere la macchina finché il valore prodotto per unità di tempo supera il costo atteso del rischio di guasto per unità di tempo. Conviene sostituirla quando:
\[ \boxed{v\leq C_Fh(t)}. \]Nel caso Weibull:
\[ h(t)= \frac{k}{\lambda} \left(\frac{t}{\lambda}\right)^{k-1}. \]La soglia critica \(t^*\) soddisfa:
\[ C_F \frac{k}{\lambda} \left(\frac{t^*}{\lambda}\right)^{k-1} = v. \]Quindi:
\[ \boxed{ t^* = \lambda \left( \frac{v\lambda}{C_Fk} \right)^{\frac{1}{k-1}} } \qquad (k>1). \]14. Esempio economico
Riprendiamo una Weibull con \(k=2\) e \(\lambda=1000\). Il rischio istantaneo è:
\[ h(t)=\frac{2t}{1000^2}=\frac{2t}{1\,000\,000}. \]Supponiamo che il costo di guasto improvviso sia \(C_F=10\,000\) e che il valore prodotto dalla macchina per unità di tempo sia \(v=15\). La regola di sostituzione è:
\[ v=C_Fh(t). \]Quindi:
\[ 15=10\,000\cdot \frac{2t}{1\,000\,000}=0.02t. \]Perciò:
\[ t=\frac{15}{0.02}=750. \]La soglia critica è:
\[ \boxed{t^*=750}. \]In questo esempio la vita media della macchina era circa \(\mu\approx 886\). La soglia economica di sostituzione è quindi inferiore alla vita media. Non è un paradosso: significa che il costo di una rottura improvvisa è abbastanza alto da rendere razionale la sostituzione preventiva prima della media.
Se invece il valore prodotto dalla macchina fosse più alto, per esempio \(v=25\), allora:
\[ 25=0.02t, \qquad t=1250. \]In questo secondo caso:
\[ \boxed{t^*=1250}. \]La macchina conviene mantenerla più a lungo perché produce più valore per unità di tempo.
15. Confronto finale tra i due casi
| Caso | Ipotesi | Metodo principale | Interpretazione della sopravvivenza oltre la media |
|---|---|---|---|
| Macchine omogenee | Stesso lotto, stesso uso, stessa manutenzione, stesso ambiente | Sopravvivenza condizionata \(S(b)/S(a)\) | La macchina ha superato una soglia nella distribuzione comune |
| Macchine eterogenee | Lotti diversi, difetti nascosti, condizioni d’uso diverse, manutenzione diversa | Aggiornamento bayesiano su \(\theta\) | La sopravvivenza è evidenza sulla qualità nascosta o sul lotto di appartenenza |
Il punto decisivo è che l’approccio bayesiano diventa tanto più utile quanto più l’insieme delle macchine considerate è eterogeneo. Se tutte le macchine sono davvero uguali rispetto ai fattori rilevanti, la sopravvivenza condizionata è sufficiente. Se invece ci sono sottogruppi, lotti difettosi, qualità nascoste o condizioni d’uso differenti, la sopravvivenza osservata fornisce informazione su quale tipo di macchina stiamo osservando.
Conclusione
Una macchina che sopravvive oltre la media può essere considerata, in un certo senso, una macchina che ha dato una buona prova di sé. Ma questa affermazione deve essere precisata.
Se l’insieme delle macchine è omogeneo, la valutazione più diretta è:
\[ P(T>b\mid T>a)=\frac{S(b)}{S(a)}. \]In questo caso la macchina viene confrontata con la curva di sopravvivenza comune.
Se invece le macchine non sono realmente identiche, perché possono provenire da lotti diversi o avere qualità nascoste differenti, allora l’approccio bayesiano è più adatto. La sopravvivenza oltre la media non indica solo che la macchina è arrivata lontano; indica anche che è meno probabile che appartenga a un gruppo fragile o difettoso.
La formula generale diventa:
\[ P(T>b\mid T>a,D) = \int \frac{S(b\mid \theta)}{S(a\mid \theta)} \,d\Pi(\theta\mid D). \]Tuttavia, anche quando la sopravvivenza oltre la media aggiorna positivamente la stima della qualità, bisogna sempre tenere conto del rischio di guasto che può crescere con l’età:
\[ h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}. \]Per questo una macchina può essere contemporaneamente migliore della media rispetto alla popolazione iniziale e più rischiosa nel breve periodo rispetto a una macchina nuova.
La decisione pratica deve quindi combinare tre elementi:
\[ P(T>b\mid T>a), \qquad \Pi(\theta\mid D), \qquad h(t). \]Infine, dal punto di vista economico, conviene mantenere la macchina solo finché:
\[ v>C_Fh(t). \]In sintesi: sopravvivere oltre la media è un segnale positivo, ma non è una garanzia. Se le macchine sono omogenee, basta la sopravvivenza condizionata. Se le macchine sono eterogenee, l’approccio bayesiano è più potente. In ogni caso, la scelta razionale deve sempre tenere conto del rischio crescente di guasto e del costo atteso della rottura.
Perché la media di una variabile non negativa è l’integrale della funzione di sopravvivenza
Nei problemi di affidabilità, durata di una macchina, tempo di vita di un componente o sopravvivenza di un sistema, si incontra spesso una formula molto importante:
\[ \boxed{ E[T]=\int_{0}^{\infty} S(t)\,dt } \]dove \(T\) è una variabile aleatoria non negativa e \(S(t)\) è la sua funzione di sopravvivenza:
\[ S(t)=P(T>t). \]La formula dice che la media di \(T\), cioè il suo valore atteso, è uguale all’area sotto la curva di sopravvivenza. Nel caso di una macchina, significa che la vita media non è soltanto il risultato di una media dei tempi di rottura, ma può essere vista come la somma continua delle probabilità che la macchina sia ancora viva a ogni istante.
Questa identità è molto utile perché collega due modi diversi di guardare allo stesso fenomeno:
- da un lato, la media calcolata tramite la densità dei tempi di guasto;
- dall’altro, la media calcolata come area sotto la funzione di sopravvivenza.
1. Ipotesi di partenza
Supponiamo che \(T\) sia una variabile aleatoria continua, non negativa, con densità \(f(t)\). Nel nostro caso \(T\) può rappresentare il tempo di vita di una macchina:
\[ T\geq 0. \]La sua media, o valore atteso, è definita da:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty} t f(t)\,dt. \]Questa formula significa che ogni possibile valore \(t\) viene pesato con la sua densità \(f(t)\). Tempi di vita più probabili contribuiscono di più alla media; tempi di vita meno probabili contribuiscono di meno.
La funzione di sopravvivenza, invece, è:
\[ S(u)=P(T>u)=\int_{u}^{\infty} f(t)\,dt. \]Essa misura la probabilità che il tempo di vita superi la soglia \(u\).
Vogliamo dimostrare che:
\[ \boxed{ \int_{0}^{\infty} t f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} S(u)\,du } \]cioè:
\[ \boxed{ E[T]=\int_{0}^{\infty} P(T>u)\,du }. \]2. Il trucco fondamentale: scrivere \(t\) come un integrale
Il passaggio decisivo consiste nel notare che ogni numero positivo \(t\) può essere scritto come area di un segmento di altezza \(1\) e lunghezza \(t\).
Per esempio:
\[ 5=\int_{0}^{5}1\,du. \]Più in generale:
\[ t=\int_{0}^{t}1\,du. \]Questa identità è banale ma potentissima. Essa permette di trasformare il termine \(t\) nella formula del valore atteso in un integrale.
Partiamo da:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty}t f(t)\,dt. \]Sostituiamo \(t\) con \(\int_0^t 1\,du\):
\[ E[T] = \int_{0}^{\infty} \left(\int_{0}^{t}1\,du\right) f(t)\,dt. \]Poiché \(f(t)\) non dipende da \(u\), possiamo portarlo dentro l’integrale interno:
\[ E[T] = \int_{0}^{\infty} \left(\int_{0}^{t} f(t)\,du\right) dt. \]Ora abbiamo un doppio integrale. Il punto delicato è capire su quale regione del piano stiamo integrando.
3. La regione di integrazione
Il doppio integrale:
\[ \int_{0}^{\infty} \left(\int_{0}^{t} f(t)\,du\right) dt \]significa che:
- prima fissiamo \(t\);
- poi facciamo variare \(u\) da \(0\) a \(t\);
- infine facciamo variare \(t\) da \(0\) a infinito.
Dunque la regione del piano \((u,t)\) su cui stiamo integrando è:
\[ R=\{(u,t):0\leq u\leq t<\infty\}. \]Questa regione è la parte del primo quadrante che sta sotto la condizione \(u\leq t\), oppure, equivalentemente, sopra la diagonale \(t=u\) se si mette \(u\) sull’asse orizzontale e \(t\) sull’asse verticale.
La stessa regione può essere descritta in due modi.
Primo modo: fissare prima \(t\)
Se fissiamo \(t\), allora \(u\) può andare da \(0\) fino a \(t\):
\[ 0\leq u\leq t. \]Questo corrisponde all’integrale:
\[ \int_{t=0}^{\infty}\int_{u=0}^{t} f(t)\,du\,dt. \]Geometricamente, è come scandire la regione con segmenti orizzontali: per ogni altezza \(t\), il segmento va da \(u=0\) fino alla diagonale \(u=t\).
Secondo modo: fissare prima \(u\)
Se invece fissiamo \(u\), la condizione \(u\leq t\) dice che \(t\) deve partire da \(u\) e andare fino a infinito:
\[ t\geq u. \]Dunque:
\[ u\leq t<\infty. \]Inoltre \(u\) può assumere qualsiasi valore non negativo:
\[ 0\leq u<\infty. \]Quindi la stessa regione \(R\) può essere scritta anche così:
\[ R=\{(u,t):0\leq u<\infty,\ u\leq t<\infty\}. \]L’integrale diventa:
\[ \int_{u=0}^{\infty}\int_{t=u}^{\infty} f(t)\,dt\,du. \]Geometricamente, ora stiamo scandendo la stessa regione con segmenti verticali: per ogni valore fissato di \(u\), il segmento parte dalla diagonale \(t=u\) e sale fino a infinito.
4. Lo scambio degli integrali
Poiché la regione geometrica è la stessa, possiamo riscrivere il doppio integrale cambiando l’ordine di integrazione:
\[ \int_{t=0}^{\infty}\int_{u=0}^{t} f(t)\,du\,dt = \int_{u=0}^{\infty}\int_{t=u}^{\infty} f(t)\,dt\,du. \]Questo è il cosiddetto scambio dell’ordine di integrazione.
Prima leggevamo la regione così:
\[ 0\leq t<\infty, \qquad 0\leq u\leq t. \]Dopo lo scambio la leggiamo così:
\[ 0\leq u<\infty, \qquad u\leq t<\infty. \]Il contenuto geometrico non cambia. Cambia soltanto il modo in cui percorriamo la stessa area del piano.
In forma compatta:
\[ E[T] = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t} f(t)\,du\,dt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty} f(t)\,dt\,du. \]Il secondo integrale interno:
\[ \int_{u}^{\infty} f(t)\,dt \]ha un significato probabilistico preciso: è la probabilità che \(T\) sia maggiore di \(u\).
Infatti:
\[ \int_{u}^{\infty} f(t)\,dt=P(T>u)=S(u). \]Sostituendo:
\[ E[T] = \int_{0}^{\infty} S(u)\,du. \]Abbiamo quindi dimostrato:
\[ \boxed{ E[T]=\int_{0}^{\infty} S(u)\,du }. \]5. Visualizzazione geometrica con un massimo finito
Per comprendere meglio lo scambio, è utile considerare prima un caso più semplice: supponiamo che la macchina non possa vivere oltre un tempo massimo \(M\). In questo caso:
\[ 0\leq T\leq M. \]Allora:
\[ E[T]=\int_{0}^{M} t f(t)\,dt. \]Scriviamo ancora:
\[ t=\int_{0}^{t}1\,du. \]Quindi:
\[ E[T] = \int_{0}^{M}\int_{0}^{t} f(t)\,du\,dt. \]La regione di integrazione è:
\[ R_M=\{(u,t):0\leq u\leq t\leq M\}. \]Questa è un triangolo nel piano \((u,t)\). I suoi lati sono:
- l’asse \(u=0\);
- la diagonale \(u=t\);
- la retta orizzontale \(t=M\).
Se integriamo fissando prima \(t\), allora:
\[ 0\leq t\leq M, \qquad 0\leq u\leq t. \]Se invece integriamo fissando prima \(u\), allora:
\[ 0\leq u\leq M, \qquad u\leq t\leq M. \]Perciò:
\[ \int_{t=0}^{M}\int_{u=0}^{t} f(t)\,du\,dt = \int_{u=0}^{M}\int_{t=u}^{M} f(t)\,dt\,du. \]L’integrale interno a destra è:
\[ \int_{u}^{M} f(t)\,dt=P(T>u), \]se \(M\) è il massimo tempo possibile. Quindi:
\[ E[T]=\int_{0}^{M}P(T>u)\,du. \]Quando il massimo \(M\) non è fissato, ma può essere arbitrariamente grande, il triangolo diventa una regione infinita:
\[ R=\{(u,t):0\leq u\leq t<\infty\}, \]e la formula diventa:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty}P(T>u)\,du. \]6. Interpretazione intuitiva: la media come somma delle soglie superate
L’identità ha anche una lettura molto intuitiva.
Immaginiamo una macchina che vive esattamente \(5\) anni. La sua durata può essere vista come la somma di cinque unità:
\[ 5=1+1+1+1+1. \]Ma queste cinque unità corrispondono al fatto che la macchina ha superato cinque soglie:
- è arrivata oltre il primo anno;
- è arrivata oltre il secondo anno;
- è arrivata oltre il terzo anno;
- è arrivata oltre il quarto anno;
- è arrivata oltre il quinto anno.
Per una variabile discreta intera non negativa, questo porta alla formula:
\[ E[T]=\sum_{n=1}^{\infty}P(T\geq n). \]Nel caso continuo, la somma sulle soglie intere viene sostituita da un integrale su tutte le soglie reali:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty}P(T>u)\,du. \]Quindi la media è la somma continua delle probabilità di superare ciascuna soglia temporale.
Nel linguaggio dell’affidabilità, questo significa:
La vita media di una macchina è l’area sotto la curva che, per ogni tempo \(u\), indica la probabilità che la macchina sia ancora funzionante oltre \(u\).
7. Perché lo scambio degli integrali è matematicamente lecito?
Lo scambio dell’ordine di integrazione non è solo un’intuizione geometrica. È giustificato da risultati matematici precisi, in particolare dal teorema di Tonelli e dal teorema di Fubini.
Nel nostro caso l’integrando è:
\[ f(t). \]Poiché \(f(t)\) è una densità di probabilità, abbiamo:
\[ f(t)\geq 0. \]L’integrando del doppio integrale è quindi non negativo. Per funzioni non negative si può applicare il teorema di Tonelli, che permette di scambiare l’ordine di integrazione anche quando il valore dell’integrale potrebbe essere infinito.
Se inoltre il valore atteso è finito:
\[ E[T]<\infty, \]allora l’integrale è finito e si può usare anche il teorema di Fubini, che garantisce lo scambio dell’ordine di integrazione per funzioni integrabili.
Dunque, nel nostro caso, lo scambio è lecito perché:
- la densità \(f(t)\) è non negativa;
- stiamo integrando su una regione ben definita del piano;
- Tonelli consente lo scambio per funzioni non negative;
- se la media è finita, Fubini lo giustifica anche in senso ordinario.
8. Esempio: distribuzione esponenziale
Consideriamo una variabile aleatoria esponenziale:
\[ T\sim \operatorname{Exp}(\lambda). \]La densità è:
\[ f(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \qquad t\geq 0. \]La funzione di sopravvivenza è:
\[ S(t)=P(T>t)=e^{-\lambda t}. \]Applicando la formula:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty}S(t)\,dt = \int_{0}^{\infty}e^{-\lambda t}\,dt. \]Calcoliamo l’integrale:
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\lambda t}\,dt = \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty} = 0-\left(-\frac{1}{\lambda}\right) = \frac{1}{\lambda}. \]Quindi:
\[ \boxed{ E[T]=\frac{1}{\lambda} }. \]Questo coincide con la media nota della distribuzione esponenziale. L’esempio conferma che l’area sotto la curva di sopravvivenza produce la media del tempo di vita.
9. Significato per la durata di una macchina
Se \(T\) rappresenta il tempo di vita di una macchina, allora \(S(t)=P(T>t)\) è la probabilità che la macchina sia ancora funzionante oltre il tempo \(t\).
La formula:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty}S(t)\,dt \]dice che la vita media è l’area sotto la curva di sopravvivenza. Se \(S(t)\) scende rapidamente, l’area è piccola e la vita media è bassa. Se \(S(t)\) rimane alta per molto tempo, l’area è grande e la vita media è elevata.
Questa interpretazione è molto utile perché consente di capire la media non come un numero isolato, ma come il risultato dell’intero profilo di sopravvivenza. Due macchine, o due popolazioni di macchine, possono avere medie simili ma curve di sopravvivenza molto diverse. Una può avere molti guasti precoci e alcune sopravvivenze molto lunghe; un’altra può avere guasti concentrati intorno a un intervallo più regolare.
Per questo, nei problemi di affidabilità, è spesso più informativo studiare l’intera funzione \(S(t)\) e non soltanto la media \(E[T]\).
Conclusione
La formula:
\[ \boxed{ E[T]=\int_{0}^{\infty}P(T>t)\,dt } \]vale per ogni variabile aleatoria non negativa, purché si ammetta eventualmente il valore infinito. Se il valore atteso è finito, la formula fornisce la media ordinaria.
La dimostrazione nasce da un’idea semplice: ogni valore \(t\) può essere visto come l’area del rettangolo di base \(t\) e altezza \(1\):
\[ t=\int_{0}^{t}1\,du. \]Inserendo questa identità nella formula del valore atteso si ottiene un doppio integrale. La regione di integrazione è:
\[ 0\leq u\leq t<\infty. \]Questa regione può essere percorsa in due modi: fissando prima \(t\), con \(0\leq u\leq t\), oppure fissando prima \(u\), con \(u\leq t<\infty\). Lo scambio degli integrali non cambia la regione, ma cambia soltanto l’ordine con cui la attraversiamo.
Dopo lo scambio, compare naturalmente l’integrale:
\[ \int_{u}^{\infty}f(t)\,dt, \]che è proprio la funzione di sopravvivenza:
\[ S(u)=P(T>u). \]Perciò:
\[ E[T]=\int_{0}^{\infty}S(u)\,du. \]In sintesi, la media di un tempo di vita è l’area sotto la curva delle probabilità di sopravvivenza.