Oltre il paradosso di Jevons

Oltre il paradosso di Jevons

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Il paradosso retorico di Jevons

Tesi

Il cosiddetto paradosso di Jevons non è una contraddizione logica. È un risultato controintuitivo che nasce quando si confonde la diminuzione della risorsa necessaria per una singola unità di servizio con la diminuzione della risorsa consumata complessivamente. Un aumento dell’efficienza riduce il costo del servizio, può accrescere l’utilizzo degli impieghi già esistenti e può rendere economicamente possibili usi nuovi. Il consumo totale della risorsa diminuisce, rimane costante o aumenta secondo la risposta complessiva della domanda di servizi.

1. Il significato del “paradosso”

Nel 1865 William Stanley Jevons osservò che il miglioramento delle macchine a vapore non garantiva una diminuzione del consumo britannico di carbone. Rendendo la forza motrice più economica, l’aumento di efficienza poteva estendere l’uso delle macchine, favorire nuovi investimenti e ampliare la produzione. Nella letteratura contemporanea questo insieme di risposte viene studiato attraverso il concetto di rebound effect.

Il risultato è “paradossale” soltanto rispetto a un’intuizione incompleta: se una macchina usa meno risorsa per svolgere la stessa operazione, si tende a concludere che l’economia userà meno risorsa in totale. La conclusione sarebbe valida solo mantenendo invariato il numero di operazioni. In economia, però, il numero di operazioni è normalmente endogeno: reagisce al prezzo, al reddito, alle infrastrutture, alla diffusione della tecnologia e alla comparsa di nuovi impieghi.

Il contrasto non è tra due proposizioni logicamente incompatibili, ma tra un risparmio tecnico per unità e una risposta economica aggregata.

Greening, Greene e Difiglio definiscono il rebound come l’aumento del consumo di servizi energetici provocato dalla riduzione del loro costo effettivo dopo un miglioramento dell’efficienza. Sorrell distingue il rebound dal backfire: il secondo si verifica soltanto quando il recupero dei consumi supera il risparmio tecnico iniziale. Le revisioni di Gillingham, Rapson e Wagner sottolineano che l’esistenza del rebound è generalmente accettata, mentre la sua ampiezza varia molto tra servizi, settori e orizzonti temporali.

2. Variabili e unità di misura

Per evitare ambiguità bisogna separare chiaramente la risorsa fisica, il servizio utile, la quantità scambiata, il prezzo e le funzioni di domanda e offerta.

Simbolo Significato Unità di misura esemplificativa
\(R\) Quantità di risorsa fisica consumata per periodo kWh/anno, kg di carbone/anno, litri/anno
\(Q\) Quantità di servizio utile prodotta e fruita per periodo passeggeri-km/anno, lumen-ora/anno, calcoli/secondo
\(\eta\) Efficienza tecnica: servizio ottenuto per unità di risorsa passeggeri-km/kWh, lumen-ora/kWh, calcoli/J
\(P_R\) Prezzo unitario della risorsa €/kWh, €/kg, €/litro
\(P_Q\) Costo o prezzo unitario del servizio utile €/passeggero-km, €/lumen-ora
\(D(P_Q;\theta)\) Funzione di domanda del servizio Il suo valore è espresso nelle stesse unità di \(Q\)
\(O(P_Q;\phi)\) Funzione di offerta del servizio Il suo valore è espresso nelle stesse unità di \(Q\)
\(\theta\) Vettore dei fattori che spostano la domanda Dipende dalla specificazione; può contenere reddito, popolazione, conoscenza
\(\phi\) Vettore dei fattori che spostano l’offerta Tecnologia, capacità, costi degli input, numero di imprese
Distinzione concettuale

\(Q\) è una quantità osservabile. \(D\) non è una quantità autonoma: è una funzione che, dato un prezzo e dati altri fattori, restituisce una quantità domandata. Pertanto si scrive \(Q_D=D(P_Q;\theta)\), non si identifica \(D\) con il prezzo né con la quantità di equilibrio.

3. L’identità fisica fondamentale

Definiamo l’efficienza tecnica come rapporto tra servizio utile e risorsa:

\[ \eta \equiv \frac{Q}{R}. \]

Risolvendo rispetto alla risorsa:

\[ R = \frac{Q}{\eta}. \tag{1} \]

Il controllo dimensionale conferma la coerenza:

\[ [R] = \frac{[Q]}{[\eta]} = \frac{\text{unità di servizio}/\text{periodo}} {\text{unità di servizio}/\text{unità di risorsa}} = \frac{\text{unità di risorsa}}{\text{periodo}}. \]

L’equazione (1) è un’identità tecnica, non ancora un modello economico. Se \(Q\) fosse costante, un aumento di \(\eta\) ridurrebbe necessariamente \(R\). Il problema di Jevons nasce perché \(Q\) non deve rimanere costante.

Ammettendo che il servizio dipenda dall’efficienza:

\[ Q = Q(\eta), \]

il consumo della risorsa diventa:

\[ R(\eta)=\frac{Q(\eta)}{\eta}. \tag{2} \]

Derivando rispetto all’efficienza:

\[ \frac{dR}{d\eta} = \frac{\eta Q'(\eta)-Q(\eta)}{\eta^2}. \tag{3} \]

Il segno della derivata dipende dal confronto tra la crescita del servizio e il risparmio tecnico generato dall’efficienza.

4. Dal prezzo della risorsa alla domanda di servizio

Scrivere direttamente \(Q(\eta)\) è legittimo, ma non esplicita il meccanismo economico. Una formulazione più strutturale collega l’efficienza al costo unitario del servizio.

Se un’unità di risorsa costa \(P_R\) e un’unità di risorsa produce \(\eta\) unità di servizio, la sola componente variabile del costo unitario del servizio è:

\[ P_Q^{\,v} = \frac{P_R}{\eta}. \tag{4} \]

Controllo dimensionale:

\[ [P_Q^{\,v}] = \frac{\text{euro}/\text{unità di risorsa}} {\text{unità di servizio}/\text{unità di risorsa}} = \frac{\text{euro}}{\text{unità di servizio}}. \]

Se esistono altri costi unitari — capitale, manutenzione, lavoro, rete — indichiamoli con \(C_Q\), anch’esso misurato in euro per unità di servizio. Il costo pieno del servizio è allora:

\[ P_Q(\eta)=\frac{P_R}{\eta}+C_Q. \tag{5} \]

La quantità domandata del servizio è una funzione del suo prezzo e di altri determinanti:

\[ Q_D=D\!\left(P_Q(\eta);\theta\right). \tag{6} \]

Sostituendo l’equazione (5):

\[ Q_D(\eta) = D\!\left(\frac{P_R}{\eta}+C_Q;\theta\right). \tag{7} \]

L’efficienza influenza dunque la domanda attraverso almeno due canali:

  1. riduce il prezzo del servizio, causando un movimento lungo la curva di domanda;
  2. può modificare \(\theta\), spostando la curva di domanda mediante nuovi usi, infrastrutture e apprendimento.

Una formulazione più completa è quindi:

\[ Q_D = D\!\left( \frac{P_R}{\eta}+C_Q; Y,N,K,\mathcal U \right), \tag{8} \]

dove:

  • \(Y\) è il reddito reale;
  • \(N\) è il numero di utilizzatori potenziali;
  • \(K\) è lo stock di capitale e infrastrutture complementari;
  • \(\mathcal U\) rappresenta l’insieme degli usi economicamente disponibili.

5. Elasticità, rebound e backfire

Dall’equazione (2), la variazione proporzionale del consumo di risorsa è:

\[ d\ln R = d\ln Q-d\ln\eta. \tag{9} \]

Definiamo l’elasticità del servizio rispetto all’efficienza:

\[ \varepsilon_{Q,\eta} \equiv \frac{dQ}{d\eta}\frac{\eta}{Q} = \frac{d\ln Q}{d\ln\eta}. \tag{10} \]

Dividendo l’equazione (9) per \(d\ln\eta\):

\[ \frac{d\ln R}{d\ln\eta} = \varepsilon_{Q,\eta}-1. \tag{11} \]

Si distinguono tre casi:

\[ \varepsilon_{Q,\eta}<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{d\eta}<0; \] \[ \varepsilon_{Q,\eta}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{d\eta}=0; \] \[ \varepsilon_{Q,\eta}>1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{d\eta}>0. \]

Il terzo caso è il backfire: il servizio cresce più che proporzionalmente all’efficienza e il consumo totale della risorsa aumenta.

Una domanda isoelastica

Supponiamo, per semplicità, che gli altri costi siano nulli e che la domanda del servizio abbia elasticità-prezzo costante:

\[ Q_D=A P_Q^{-\varepsilon}, \qquad A>0,\ \varepsilon>0. \tag{12} \]

Qui \(A\) è un parametro di scala con unità tali da rendere dimensionalmente corretta la funzione; \(\varepsilon\) è un numero puro.

Sostituendo \(P_Q=P_R/\eta\):

\[ Q_D(\eta) = A\left(\frac{P_R}{\eta}\right)^{-\varepsilon} = A P_R^{-\varepsilon}\eta^\varepsilon. \tag{13} \]

La risorsa consumata è:

\[ R(\eta) = \frac{Q_D(\eta)}{\eta} = A P_R^{-\varepsilon}\eta^{\varepsilon-1}. \tag{14} \]

In questo caso l’elasticità del servizio rispetto all’efficienza coincide con l’elasticità assoluta della domanda rispetto al prezzo del servizio:

\[ \varepsilon_{Q,\eta}=\varepsilon. \]

Pertanto il backfire si verifica se la domanda del servizio è elastica:

\[ \varepsilon>1. \]
Precisazione

Questa equivalenza vale nel modello semplice in cui \(P_R\) e gli altri determinanti sono costanti e l’efficienza agisce soltanto attraverso il prezzo del servizio. Nel modello generale, l’efficienza può spostare anche la curva di domanda; allora \(\varepsilon_{Q,\eta}\) comprende più canali.

Misura del rebound

Per una variazione finita dell’efficienza, il risparmio tecnico teorico, calcolato mantenendo il servizio al livello iniziale \(Q_0\), è:

\[ \Delta R_{\mathrm{tecnico}} = \frac{Q_0}{\eta_0} – \frac{Q_0}{\eta_1}. \tag{15} \]

Il risparmio effettivo è:

\[ \Delta R_{\mathrm{effettivo}} = \frac{Q_0}{\eta_0} – \frac{Q_1}{\eta_1}. \tag{16} \]

Una misura standard del rebound è:

\[ \rho = 1- \frac{\Delta R_{\mathrm{effettivo}}} {\Delta R_{\mathrm{tecnico}}}. \tag{17} \]

Se \(\rho=0\), tutto il risparmio tecnico si realizza; se \(0<\rho<1\), una parte viene riassorbita; se \(\rho=1\), il risparmio è nullo; se \(\rho>1\), si verifica backfire.

6. Nuovi usi e soglie di convenienza

La formulazione elementare considera spesso un solo servizio \(A\). Ma una tecnologia meno costosa può rendere possibili anche gli usi \(B,C,D,\ldots\). Il servizio totale va allora scomposto:

\[ Q(\eta) = Q_A(\eta)+Q_B(\eta)+Q_C(\eta)+\cdots. \tag{18} \]

Ogni uso \(i\) può avere un prezzo massimo di convenienza \(\overline P_i\). L’uso è attivo quando:

\[ P_Q(\eta)\leq \overline P_i. \tag{19} \]

Con \(P_Q=P_R/\eta+C_Q\), la soglia di efficienza necessaria è:

\[ \eta \geq \overline\eta_i \equiv \frac{P_R}{\overline P_i-C_Q}, \qquad \overline P_i>C_Q. \tag{20} \]

Una rappresentazione compatta usa la funzione indicatrice \(\mathbf 1\{\cdot\}\):

\[ Q(\eta) = \sum_{i=1}^{m} \mathbf 1\!\left\{ \eta\geq\overline\eta_i \right\} Q_i(\eta). \tag{21} \]

Il modello mostra che la domanda può crescere in modo discontinuo: quando l’efficienza supera una soglia, non si utilizza soltanto di più il servizio precedente; entra nel mercato una nuova classe di attività.

Esempio intuitivo: illuminazione

Quando la luce artificiale è molto costosa viene riservata a poche ore e a luoghi ad alto valore. Quando il costo per lumen-ora diminuisce, si illuminano più stanze e più ore; successivamente diventano convenienti strade, fabbriche notturne, vetrine, pubblicità e nuovi servizi urbani. Fouquet e Pearson documentano, per il Regno Unito, una riduzione secolare straordinaria del prezzo dei servizi di illuminazione associata a una crescita enorme del loro utilizzo. Questo esempio illustra sia il margine intensivo sia quello estensivo.

7. Domanda, offerta e prezzo di equilibrio

Finora \(P_Q(\eta)\) è stato trattato come costo unitario. In un mercato, il prezzo osservato dipende anche dall’offerta. Definiamo:

\[ Q_D=D(P_Q;\theta), \qquad \frac{\partial D}{\partial P_Q}<0, \tag{22} \] \[ Q_O=O(P_Q;\phi), \qquad \frac{\partial O}{\partial P_Q}>0. \tag{23} \]

Il prezzo di equilibrio \(P_Q^*\) e la quantità di equilibrio \(Q^*\) soddisfano:

\[ D(P_Q^*;\theta) = O(P_Q^*;\phi) = Q^*. \tag{24} \]

È essenziale distinguere due fenomeni:

  • una riduzione del prezzo genera un movimento lungo la stessa curva di domanda;
  • una variazione di \(\theta\) sposta l’intera curva di domanda.

Modello lineare

Consideriamo:

\[ Q_D=a+\alpha\theta-bP_Q, \qquad b>0, \tag{25} \] \[ Q_O=c+\beta\phi+dP_Q, \qquad d>0. \tag{26} \]

I coefficienti sono dimensionali. Per esempio:

\[ [b]=[d] = \frac{\text{unità di servizio}/\text{periodo}} {\text{euro}/\text{unità di servizio}}. \]

L’equilibrio si ottiene imponendo \(Q_D=Q_O\):

\[ P_Q^* = \frac{a-c+\alpha\theta-\beta\phi}{b+d}. \tag{27} \]

La quantità di equilibrio è:

\[ Q^* = \frac{ad+bc+d\alpha\theta+b\beta\phi}{b+d}. \tag{28} \]

Gli effetti comparati sono:

\[ \frac{\partial P_Q^*}{\partial\theta} = \frac{\alpha}{b+d}>0, \qquad \frac{\partial Q^*}{\partial\theta} = \frac{d\alpha}{b+d}>0, \tag{29} \] \[ \frac{\partial P_Q^*}{\partial\phi} = -\frac{\beta}{b+d}<0, \qquad \frac{\partial Q^*}{\partial\phi} = \frac{b\beta}{b+d}>0. \tag{30} \]

Un’espansione autonoma della domanda tende dunque ad aumentare prezzo e quantità. Un’espansione dell’offerta tende invece a ridurre il prezzo e ad aumentare la quantità. Prezzo e quantità possono quindi muoversi rispettivamente verso il basso e verso l’alto quando la capacità, la produttività o il numero dei produttori crescono abbastanza rapidamente.

Domanda e offerta che cambiano simultaneamente

Nel modello generale, differenziando la condizione di equilibrio:

\[ D(P_Q;\theta)=O(P_Q;\phi), \]

si ottiene:

\[ dP_Q^* = \frac{D_\theta\,d\theta-O_\phi\,d\phi} {O_P-D_P}. \tag{31} \]

Poiché \(O_P>0\) e \(D_P<0\), il denominatore è positivo. Il prezzo scende se:

\[ O_\phi\,d\phi>D_\theta\,d\theta. \tag{32} \]

In termini intuitivi, il prezzo può continuare a diminuire anche mentre la domanda cresce quando lo spostamento dell’offerta verso destra è più forte dello spostamento della domanda.

Ciò può accadere per progresso tecnico, aumento della capacità, entrata di nuovi produttori, economie di scala o apprendimento. La trasmissione dei minori costi al prezzo richiede però anche concorrenza sufficiente: un’impresa con potere di mercato può trattenere parte del risparmio come margine.

8. Apprendimento, scoperta e modello dinamico

Gli usi possibili non sono necessariamente conosciuti in anticipo. Un maggiore impiego della tecnologia genera esperienza, complementarità e ricerca applicata. Introduciamo uno stock di conoscenza \(H_t\), misurato attraverso un indice normalizzato.

La domanda di servizio al tempo \(t\) è:

\[ Q_t = D\!\left( P_{Q,t}; Y_t,N_t,K_t,H_t \right). \tag{33} \]

Supponiamo che l’esperienza accumulata cresca con l’utilizzo:

\[ H_{t+1} = (1-\delta_H)H_t+\gamma Q_t, \tag{34} \]

dove \(\delta_H\in[0,1]\) è il tasso di obsolescenza della conoscenza e \(\gamma>0\) converte il flusso di servizio in apprendimento. Se \(H_t\) è un indice puro, \(\gamma\) ha unità inverse rispetto a \(Q_t\).

L’efficienza stessa può crescere con la conoscenza:

\[ \eta_{t+1} = \eta_t\left(1+g_\eta(H_t)\right), \qquad g_\eta’(H_t)>0. \tag{35} \]

Il costo del servizio è:

\[ P_{Q,t} = \frac{P_{R,t}}{\eta_t}+C_{Q,t}. \tag{36} \]

Il consumo della risorsa è:

\[ R_t=\frac{Q_t}{\eta_t}. \tag{37} \]

Le equazioni (33)–(37) generano un circuito cumulativo:

\[ \eta_t\uparrow \Rightarrow P_{Q,t}\downarrow \Rightarrow Q_t\uparrow \Rightarrow H_{t+1}\uparrow \Rightarrow \eta_{t+1}\uparrow. \tag{38} \]

Se inoltre \(H_t\) amplia l’insieme degli usi \(\mathcal U_t\), la curva di domanda si sposta progressivamente verso destra. Questa dinamica formalizza l’idea che l’uso non sia soltanto una conseguenza dell’innovazione, ma anche una fonte di nuove opportunità applicative.

Modello aggregato finale

Una sintesi compatta del modello completo è:

\[ R_t=\frac{Q_t}{\eta_t}, \tag{39} \] \[ Q_t = D\!\left( P_{Q,t}; Y_t,N_t,K_t,H_t,\mathcal U_t \right), \tag{40} \] \[ P_{Q,t} = \frac{P_{R,t}}{\eta_t} + C_{Q,t}, \tag{41} \] \[ H_{t+1} = (1-\delta_H)H_t+\gamma Q_t, \tag{42} \] \[ \mathcal U_{t+1} = \mathcal G(\mathcal U_t,H_{t+1},K_{t+1}), \tag{43} \] \[ \eta_{t+1} = \mathcal F(\eta_t,H_t,I_t), \tag{44} \]

dove \(I_t\) è l’investimento in innovazione e capacità. Il sistema riconosce che l’efficienza modifica il costo del servizio, il costo modifica la quantità domandata, l’utilizzo genera apprendimento e l’apprendimento può aumentare sia l’efficienza sia il numero degli usi.

9. Esempio numerico

Consideriamo un servizio di mobilità misurato in milioni di passeggeri-km all’anno e una risorsa energetica misurata in GWh all’anno.

Situazione iniziale:

\[ \eta_0=2 \ \frac{\text{milioni di passeggeri-km}}{\text{GWh}}, \qquad Q_0=100 \ \frac{\text{milioni di passeggeri-km}}{\text{anno}}. \]

Il consumo iniziale di energia è:

\[ R_0=\frac{Q_0}{\eta_0} =\frac{100}{2} =50\ \frac{\text{GWh}}{\text{anno}}. \]

L’efficienza raddoppia:

\[ \eta_1=4 \ \frac{\text{milioni di passeggeri-km}}{\text{GWh}}. \]

Caso A: servizio costante

\[ Q_1=100, \qquad R_1=\frac{100}{4}=25. \]

Il consumo si dimezza: nessun rebound.

Caso B: rebound parziale

\[ Q_1=150, \qquad R_1=\frac{150}{4}=37{,}5. \]

L’energia diminuisce da 50 a 37,5 GWh/anno, ma meno dei 25 GWh/anno previsti mantenendo fisso il servizio.

Il rebound è:

\[ \rho = 1- \frac{50-37{,}5}{50-25} = 1-\frac{12{,}5}{25} = 0{,}5. \]

Il 50% del risparmio tecnico viene riassorbito.

Caso C: backfire

\[ Q_1=240, \qquad R_1=\frac{240}{4}=60. \]

Nonostante il raddoppio dell’efficienza, il consumo energetico aumenta da 50 a 60 GWh/anno. Il servizio è cresciuto del 140%, più del 100% di aumento dell’efficienza.

10. Interpretazione economica e politica

L’espansione del servizio non è necessariamente uno spreco. Può indicare che persone precedentemente escluse accedono a riscaldamento, mobilità, illuminazione o informazione. Dal punto di vista del benessere, una parte del rebound rappresenta il valore stesso dell’innovazione. Il problema nasce quando l’obiettivo pubblico non è soltanto rendere il servizio meno costoso, ma ridurre in valore assoluto l’uso della risorsa o le emissioni.

Per questo l’efficienza è una politica diversa da un limite quantitativo. L’efficienza riduce la risorsa per unità di servizio; non impone direttamente un tetto a \(R\). Se l’obiettivo è:

\[ R_t\leq\overline R, \]

occorre uno strumento che agisca direttamente sulla risorsa o sulla sua esternalità: prezzo del carbonio, imposta sulla risorsa, tetto quantitativo, standard aggregati o rimozione dei sussidi al consumo.

L’efficienza conserva comunque un ruolo fondamentale: entro un vincolo ambientale dato, permette di ottenere più servizio:

\[ Q_t\leq \eta_t\overline R. \]

Aumentare \(\eta_t\) amplia la quantità di benessere materiale compatibile con il limite \(\overline R\). La conclusione corretta non è dunque che l’efficienza sia inutile, ma che non debba essere confusa con una garanzia automatica di riduzione assoluta dei consumi.

Conclusione

Il paradosso di Jevons è retorico perché scompare una volta distinte le grandezze rilevanti. L’efficienza riguarda il rapporto \(Q/R\); il consumo aggregato dipende invece da \(R=Q/\eta\). Se l’efficienza modifica il prezzo del servizio e il servizio domandato, non è lecito mantenere \(Q\) costante. In più, la diminuzione del costo può abbattere soglie di convenienza, rendendo possibili applicazioni prima assenti. L’uso genera apprendimento, l’apprendimento produce nuovi usi e nuove riduzioni di costo.

Il criterio matematico resta semplice:

\[ \frac{d\ln R}{d\ln\eta} = \frac{d\ln Q}{d\ln\eta}-1. \]

L’uso della risorsa diminuisce se il servizio cresce meno che proporzionalmente all’efficienza; resta invariato se cresce nella stessa proporzione; aumenta se cresce più che proporzionalmente. La difficoltà economica non è nell’identità, ma nella stima della risposta della domanda, soprattutto quando l’innovazione trasforma l’insieme stesso delle attività possibili.

Bibliografia essenziale

  1. Jevons, W. S. (1865), The Coal Question. Testo storico nel quale viene formulata la tesi secondo cui l’aumento dell’efficienza nell’uso del carbone può ampliarne gli impieghi.
  2. Greening, L. A., Greene, D. L. e Difiglio, C. (2000), “Energy efficiency and consumption — the rebound effect — a survey”, Energy Policy, 28(6–7), 389–401. DOI.
  3. Sorrell, S. (2009), “Jevons’ Paradox revisited: The evidence for backfire from improved energy efficiency”, Energy Policy, 37(4), 1456–1469. DOI.
  4. Gillingham, K., Rapson, D. e Wagner, G. (2016), “The Rebound Effect and Energy Efficiency Policy”, Review of Environmental Economics and Policy, 10(1), 68–88. DOI.
  5. Fouquet, R. e Pearson, P. J. G. (2006), “Seven Centuries of Energy Services: The Price and Use of Light in the United Kingdom (1300–2000)”, The Energy Journal, 27(1), 139–177. DOI.
  6. Sorrell, S., Dimitropoulos, J. e Sommerville, M. (2009), “Empirical estimates of the direct rebound effect: A review”, Energy Policy, 37(4), 1356–1371. DOI.

Alvise Giubelli – HumAI.it