Efficacia causale, completezza e rapporti tra livelli di descrizione

I tre piani da distinguere

Il primo piano è quello dell’ontologia della dinamica. Qui la domanda è: il mondo, a un certo livello, è davvero deterministico oppure no? Una teoria può sostenere che, dato uno stato completo del sistema, il futuro sia fissato univocamente; oppure può sostenere che anche dato uno stato completo resti un elemento di genuina casualità. Questa è una questione metafisica e fisica insieme, e non coincide automaticamente con il modo in cui modelliamo il sistema.

Il secondo piano è quello della completezza della descrizione. Anche se la dinamica fondamentale fosse deterministica, una descrizione può non essere abbastanza fine da includere tutte le variabili rilevanti. In questo caso due situazioni che per il modello risultano identiche possono invece differire in dettagli nascosti, e quindi evolvere diversamente. La probabilità compare allora non necessariamente perché la realtà “lanci i dadi”, ma perché la nostra nozione di stato non contiene tutta l’informazione causale pertinente.

Il terzo piano è quello della forma del modello. Hoel non parte chiedendosi quale sia la metafisica ultima della natura, ma assume che a un certo livello il sistema sia rappresentato da una transition probability matrix, cioè da una matrice di transizione causale. La domanda diventa allora: quanto è informativa quella rappresentazione? Quanto bene lo stato presente restringe il futuro? Quanto bene differenze tra cause restano distinguibili negli effetti? È qui che entra in gioco l’effective information.

Il modello di Hoel: matrice di transizione, determinismo e degenerazione

Supponiamo di avere un insieme finito di stati \(\Omega=\{1,\dots,n\}\). Un sistema al livello scelto viene rappresentato da una matrice di transizione

Ogni riga \(T_{i\bullet}\) dice quali effetti sono possibili se si interviene sul sistema ponendolo nello stato \(i\). Se una riga è concentrata su un solo stato futuro, quella causa produce un effetto ben definito. Se invece la riga è sparsa su molti stati, allora la causa è meno specifica: sapere che il sistema è in \(i\) non basta per prevedere con precisione l’effetto.

L’idea fondamentale di Hoel è che la qualità causale di un livello di descrizione si misura trattando la dinamica come un canale informativo tra cause ed effetti. Se \(q\) è la distribuzione con cui scegliamo gli stati iniziali, l’informazione efficace è la mutua informazione tra cause ed effetti:

Nel caso classico di Hoel si usa una distribuzione uniforme sugli stati iniziali, perché si vogliono trattare tutti gli interventi possibili in modo imparziale. Se \(u_i=\frac1n\), allora

Questa formula è importante perché rende visibili due difetti causali distinti. Il termine

è la media delle entropie delle righe. Misura quanto, in media, il futuro resti incerto anche conoscendo la causa. È dunque il volto informazionale dell’indeterminismo. Più questo termine cresce, meno le cause sono specifiche e meno il livello è causalmente affidabile.

Il termine

è l’entropia della media. Misura la varietà complessiva degli effetti prodotti dall’insieme delle cause considerate. Se cause diverse collassano sugli stessi effetti, questa entropia diminuisce. È qui che compare la degenerazione: non il rumore in avanti, ma la perdita di distinguibilità tra cause diverse.

Hoel normalizza poi queste due idee introducendo due grandezze complementari. Il determinismo cresce quando le righe hanno bassa entropia; la degenerazione cresce quando gli effetti medi risultano poco differenziati. In forma standard:

Da qui segue che l’efficacia informativa è massima quando il sistema è il più possibile deterministico e il meno possibile degenere. In altri termini, il caso ideale è quello in cui ogni causa produce un effetto ben definito e cause diverse restano distinguibili nei loro esiti. Nel caso perfetto, la matrice di transizione è una matrice di permutazione: ogni riga ha un solo 1 e ogni colonna riceve esattamente una causa.

Che cosa significa filosoficamente la massima efficacia informativa

Dal punto di vista filosofico, la situazione di massima efficacia informativa corrisponde a un ideale di specificità causale. Una buona teoria causale non è solo una teoria che permette qualche previsione: è una teoria in cui le differenze tra cause contano davvero, e contano in modo leggibile negli effetti. Se tutto fosse rumoroso, non sapremmo mai che cosa segue da che cosa. Se tutto fosse degenere, differenze reali tra cause verrebbero cancellate nel risultato. L’ideale hoeliano non è quindi soltanto “prevedere bene”, ma avere una mappa delle dipendenze causali che sia al tempo stesso affidabile e discriminante.

Questo ha una risonanza filosofica notevole. Da un lato, sembra avvicinarsi a un ideale classico di intellegibilità: capire un sistema vuol dire cogliere trasformazioni in cui la causa non si disperde nel rumore e non si confonde con altre cause. Da un altro lato, però, non bisogna trasformare questo ideale in una metafisica dell’essere. Hoel non sta dicendo che la realtà debba essere così per esistere, ma che una rappresentazione causale è tanto più potente quanto più si avvicina a questa forma. Si tratta dunque soprattutto di un ideale di modellizzazione e di conoscenza.

Si può allora chiedere se questa massima efficacia sia una sorta di aspirazione della mente. In un certo senso sì, ma con una precisazione essenziale. Non è semplicemente il desiderio psicologico di avere ordine invece che caos; è piuttosto il fatto che la mente scientifica, quando cerca spiegazioni causali, tende naturalmente a privilegiare descrizioni in cui il mondo risponde in modo selettivo agli interventi. Un modello che rende leggibili le differenze tra interventi è un modello che permette spiegazione, previsione e manipolazione. In questo senso, la mente tende verso strutture ad alta efficacia informativa perché esse sono quelle che meglio soddisfano le pratiche della scienza.

Ma non bisogna confondere questo ideale con una pretesa assoluta. La natura può benissimo non offrirci sempre il massimo di determinismo e il minimo di degenerazione. Esistono leggi statistiche, fenomeni rumorosi, processi in cui la migliore descrizione disponibile conserva una quota di probabilità. L’idea filosoficamente corretta non è quindi che la mente proietti arbitrariamente il proprio ordine sul mondo, ma che cerchi i livelli di descrizione in cui il mondo diventa più legibile causalmente.

Quando si può parlare di completezza di una teoria

Qui bisogna essere molto cauti, perché il termine “completezza” può voler dire cose diverse. Una teoria può essere predittivamente completa a un certo livello se, dato lo stato ammesso dalla teoria, l’effetto è fissato con precisione. In questo senso, il difetto di completezza dipende soprattutto dall’indeterminismo: se una stessa causa lascia aperti molti futuri, la teoria non chiude il passaggio dalla causa all’effetto.

Ma una teoria può essere incompleta anche in un altro senso: può non riuscire a conservare le differenze tra cause diverse. Se due cause distinte producono sempre lo stesso effetto, il modello può essere perfettamente deterministico in avanti e tuttavia perdere struttura causale. Questo è il caso della degenerazione. Perciò, se per completezza intendiamo non solo previsione, ma anche fedeltà alla struttura delle differenze causali, allora la completezza non dipende solo dall’indeterminismo ma anche dalla degenerazione.

Si può dire così: una teoria è pienamente completa, nel senso forte rilevante per Hoel, quando è insieme sufficientemente deterministica e poco degenere. Solo allora la causa specifica l’effetto e, al tempo stesso, gli effetti preservano l’informazione sulle differenze tra cause.

Non segue però che una teoria sia completa solo se non esiste alcun livello più fondamentale possibile. Questa identificazione sarebbe troppo forte. In molte scienze una teoria può essere completa rispetto a un compito, a una scala e a una classe di fenomeni pur non essendo l’ultima teoria del mondo. La termodinamica classica, per esempio, è spesso straordinariamente completa rispetto ai fenomeni di equilibrio che descrive, anche se esiste una descrizione microscopica più fondamentale. La completezza operativa di una teoria non coincide con l’assenza di un substrato più profondo.

Si dovrebbero allora distinguere almeno tre nozioni. C’è una completezza locale o pragmatica, relativa a ciò che la teoria deve spiegare. C’è una completezza causale, relativa alla capacità della teoria di rappresentare fedelmente nessi causa-effetto. E c’è una completezza ontologica, molto più ambiziosa, che pretenderebbe di essere il livello ultimo oltre il quale non vi è nulla di più fondamentale. Quest’ultima nozione è raramente disponibile in pratica ed è filosoficamente controversa.

Macro deterministico e macro probabilistico

Il fatto che una teoria sia macro non implica affatto che debba essere probabilistica. La relazione di Boyle ne è un esempio classico. In regime ideale, la legge

è una relazione macroscopica perfettamente deterministica. Non c’è alcuna matrice di transizione stocastica all’interno della legge stessa. Questo mostra che “macroscopico” non significa “indeterministico”. Una legge macro può essere deterministica quando connette grandezze di stato ben definite in un dominio sufficientemente regolare.

D’altra parte, esistono moltissime leggi efficaci e modelli macro che sono probabilistici: il moto browniano, le equazioni di Langevin, le master equations in cinetica chimica, i modelli di diffusione e di fluttuazione. In questi casi la probabilità compare spesso perché la descrizione non segue tutti i gradi di libertà microscopici o perché considera direttamente la dinamica di fluttuazioni e distribuzioni. La probabilità, insomma, non nasce solo dal passaggio tra livelli, ma molto spesso dal fatto che il livello scelto non è chiuso rispetto a tutte le variabili che determinano il seguito del processo.

Se la dinamica micro fosse deterministica, potremmo avere

Ma se osserviamo solo un macrostato \(X_t=g(x_t)\), allora il passaggio macro può diventare stocastico perché stati microscopici diversi, compatibili con lo stesso macrostato, evolvono verso macrostati futuri differenti. Una matrice macro può essere scritta, in forma schematica, come

Qui la probabilità non è necessariamente un tratto ontologico fondamentale; è il risultato del fatto che il macrostato \(\alpha\) raccoglie molti microstati possibili. La stessa descrizione macro può quindi essere perfettamente legittima e scientificamente preziosa pur essendo probabilistica.

Come il macro può battere il micro senza rendere inutile il micro

Uno dei risultati più provocatori di Hoel è che talvolta \(EI(\text{macro}) > EI(\text{micro})\). Questo significa che, come rappresentazione causale, il livello macro può essere più efficace del micro. Accade quando il coarse-graining riduce il rumore locale, elimina distinzioni micro causalmente irrilevanti e produce una mappa causa-effetto più chiara. In breve, il macro può diventare più leggibile del micro.

Ma da qui non segue affatto che il micro diventi inutile. Questo è un punto decisivo. L’effective information misura la qualità causale di una rappresentazione già data; non misura il valore totale di un livello per la scoperta scientifica. Anche quando il macro vince come canale causale, il micro può restare essenziale come fonte di spiegazione meccanicistica, come guida per la costruzione del macro corretto e come bussola per individuare nuovi interventi possibili.

La filosofia dei meccanismi ha insistito molto su questo punto. Conoscere un livello più basso non serve soltanto a “ridurre” il fenomeno, ma anche a progettare esperimenti, a identificare variabili pertinenti, a scartare pseudo-correlazioni e a capire quali manipolazioni abbiano davvero presa sul fenomeno osservato. Il micro non offre soltanto cause ed effetti al proprio livello; suggerisce anche quali variabili macro siano autenticamente sensibili alle manipolazioni e quali no.

Dal livello micro al suggerimento di nessi causali macro

L’esempio della temperatura e del moto browniano rende benissimo questa idea, con una piccola precisazione tecnica. In meccanica statistica classica, la temperatura non è semplicemente la velocità media delle particelle, ma è legata all’energia cinetica media dei loro gradi di libertà. Proprio questa immagine microscopica permette di comprendere perché, al crescere della temperatura, cresca anche l’intensità dell’agitazione browniana.

Einstein mostrò che il coefficiente di diffusione di una particella sospesa dipende dalla temperatura assoluta, dalla viscosità del fluido e dalla dimensione della particella. Nella forma standard moderna:

Da qui segue che lo spostamento quadratico medio della particella cresce linearmente nel tempo, con costante di proporzionalità determinata da \(D\):

Ora, il punto filosofico non è solo che il livello micro “spiega” il livello macro. Il punto è più forte: il livello micro suggerisce quali interventi macro tentare. Se so che l’agitazione browniana dipende dall’energia termica media delle molecole, allora so che ha senso variare la temperatura del fluido, controllare la viscosità, cambiare il raggio delle particelle e osservare come cambia la diffusione. Prima ancora di avere la correlazione macro stabilizzata sperimentalmente, il meccanismo micro mi indica quali variabili valgono come manopole causali.

Questo significa che il livello più basso può generare nuova scienza anche quando non è il miglior livello per la rappresentazione causale diretta del fenomeno. Può suggerire nuove regolarità di ordine superiore, nuovi protocolli sperimentali e persino nuovi concetti macro. In questo senso, il rapporto tra livelli non è soltanto competitivo. Non è vero semplicemente che o vince il micro o vince il macro. Molto spesso il micro costruisce le condizioni sotto cui il macro diventa intelligibile, manipolabile e misurabile.

La stessa cosa vale in moltissimi altri casi. Nelle neuroscienze, la conoscenza di circuiti, recettori e meccanismi cellulari suggerisce quali variabili comportamentali o cognitive abbiano senso come target di intervento. In biologia dei sistemi, un modello meccanicistico delle interazioni intracellulari può far emergere nuove grandezze aggregate che poi risultano più stabili e più causalmente efficaci del dettaglio molecolare. In fisica statistica, il livello micro indica quali osservabili collettive saranno robuste, quali variabili vanno fissate e quali relazioni di scala ci si può attendere.

Causalità tra livelli o costituzione tra livelli?

Qui occorre un’ulteriore finezza filosofica. Quando il micro “suggerisce” un nesso causale macro, non sempre si deve parlare di una causalità inter-level nel senso forte. Una parte della letteratura contemporanea sostiene che tra micro e macro vi sia spesso non una relazione causale aggiuntiva, ma una relazione di costituzione o di realizzazione. Il macrolivello è fatto dal microlivello organizzato in un certo modo. Per questo, modificare il micro e osservare il macro non equivale automaticamente a scoprire una nuova freccia causale indipendente; talvolta significa invece rendere esplicita la base costitutiva del fenomeno.

Il micro può fornire informazione decisiva sul modo corretto di intervenire sul macro anche quando la relazione fra i due livelli non è quella di due cause esterne l’una all’altra, ma quella di base costitutiva e proprietà emergente. La conoscenza del meccanismo sottostante continua a guidare l’intervento, anche se filosoficamente il legame non va descritto come un semplice arco causale tra due variabili indipendenti.

Che cosa resta allora dell’idea di completezza

Una teoria non è completa semplicemente quando non esiste alcun livello più profondo immaginabile. Quella sarebbe una nozione troppo forte e quasi metafisica di completezza ultima. Più realisticamente, una teoria è completa rispetto a un fenomeno e a un compito quando determina sufficientemente bene gli effetti rilevanti, conserva le differenze causali importanti, e specifica condizioni di intervento e di controllo adeguate.

In questo quadro, il livello macro può essere più completo del micro rispetto a una certa classe di domande, pur dipendendo ontologicamente dal micro. Allo stesso tempo, il livello micro può essere indispensabile per mostrare perché proprio quel macro sia ben costruito, quali siano i suoi limiti e come lo si possa estendere. La completezza, insomma, non è sempre una proprietà assoluta di una teoria presa isolatamente. Spesso è una proprietà relativa a una rete di descrizioni che si sostengono e si correggono a vicenda.

Conclusione

La teoria di Hoel offre una lezione doppia. Da un lato, insegna che il valore di una descrizione non dipende solo dal fatto di essere più fine o più bassa: dipende dalla sua efficacia causale, cioè dalla combinazione di alto determinismo e bassa degenerazione. Il livello migliore non è necessariamente il più microscopico, ma quello in cui le differenze tra cause diventano più informative e più leggibili negli effetti.

Dall’altro lato, la stessa discussione mostra che il livello micro non perde affatto importanza quando il macro è più efficace. Al contrario, il micro può fornire la spiegazione meccanicistica che permette di costruire il buon livello macro, di scoprire nuovi nessi causali a livello più alto e di capire quali interventi abbiano senso. La scienza matura raramente procede scegliendo una volta per tutte tra micro e macro. Più spesso procede in un continuo andirivieni tra i due: il macro organizza la leggibilità causale, il micro orienta la scoperta, la giustificazione e l’intervento.

Se si vuole esprimere tutto questo in una sola frase, la si può formulare così: il miglior livello di descrizione non è sempre il più basso, ma il livello più basso resta spesso ciò che ci insegna come trovare il livello migliore.