Sostenibilità delle polizze e convenienza per l’assicurato

L’assicurazione è una delle applicazioni più mature del calcolo delle probabilità, della statistica e della matematica finanziaria. La sua logica fondamentale è semplice: un individuo è esposto a eventi incerti che possono produrre danni economici anche molto gravi; una compagnia assicurativa raccoglie molti rischi simili, li aggrega, li misura statisticamente e li trasforma in un sistema di premi, riserve e capitale. Il singolo non sa se subirà il sinistro; la compagnia, osservando una grande collettività, può stimare con una certa regolarità quanti sinistri avverranno, quanto costeranno, quale premio richiedere e quanto capitale accantonare per restare solvibile.

In questo senso, l’assicurazione non è semplicemente un contratto commerciale, ma una tecnica di trasferimento e mutualizzazione del rischio. Essa converte una perdita aleatoria individuale in un costo certo, cioè il premio, e distribuisce il rischio su una popolazione di assicurati. La sostenibilità della compagnia dipende dalla correttezza dei modelli statistici; la convenienza per l’assicurato dipende invece non solo dal valore medio dei danni, ma anche dalla gravità degli scenari estremi, dalla sua ricchezza, dalla sua avversione al rischio e dalla possibilità di sopportare o meno il danno.

1. Rischio, sinistro, danno e premio: le grandezze fondamentali

Il punto di partenza è la distinzione tra rischio, sinistro e danno. Il rischio è la possibilità che si verifichi un evento sfavorevole; il sinistro è la realizzazione concreta di quell’evento; il danno è la conseguenza economica del sinistro. In forma elementare, se un sinistro avviene con probabilità \(p\) e produce un danno economico \(D\), la perdita aleatoria \(L\) può essere rappresentata come:

Il valore atteso della perdita è:

Questa quantità è il nucleo del premio puro, cioè del premio che coprirebbe esattamente, in media, il costo atteso dei sinistri. Se la probabilità di un danno da 10.000 euro è dell’1%, il danno atteso è:

Un premio di 100 euro sarebbe, in questo modello elementare, il premio attuarialmente equo. Tuttavia una compagnia reale non può chiedere soltanto il premio puro. Deve coprire spese amministrative, provvigioni, imposte, costo del capitale, incertezza statistica, margini di sicurezza, utile e talvolta costi di riassicurazione. Perciò il premio commerciale effettivamente richiesto assume una forma più ampia:

dove \(C\) rappresenta costi e caricamenti e \(M\) rappresenta margini tecnici, prudenziali e di profitto. Di norma, quindi:

Questa disuguaglianza è decisiva per comprendere sia la sostenibilità della compagnia sia la convenienza, o non convenienza, dell’assicurazione per l’assicurato.

2. La perdita aggregata: frequenza e severità dei sinistri

Nella realtà assicurativa il danno non è quasi mai fisso. Una compagnia deve stimare due componenti fondamentali: la frequenza dei sinistri e la loro severità, cioè il costo economico di ciascun sinistro. Se \(N\) è il numero aleatorio dei sinistri in un certo periodo e \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) sono gli importi dei singoli sinistri, la perdita aggregata del portafoglio è:

Questa è una delle formule centrali della matematica assicurativa. La compagnia non deve solo stimare il rischio del singolo assicurato, ma soprattutto la distribuzione della perdita totale \(S\). Se il numero dei sinistri \(N\) è indipendente dagli importi \(X_i\), e se gli importi hanno media \(E[X]\), allora:

In termini intuitivi:

Per esempio, se una compagnia si attende 5.000 sinistri e il costo medio di ciascun sinistro è 2.000 euro, la perdita attesa è:

Ma la compagnia non può fermarsi alla media. Deve domandarsi anche quanto può oscillare \(S\), cioè quale sia la sua varianza, e quanto pesante sia la coda della distribuzione, cioè la probabilità di perdite molto superiori alla media.

3. Modelli di frequenza: binomiale, Poisson e binomiale negativa

Il numero dei sinistri può essere modellato con distribuzioni diverse. Se vi sono \(n\) assicurati indipendenti, ciascuno con probabilità \(p\) di sinistro, il numero totale dei sinistri può essere rappresentato con una variabile binomiale:

In questo caso:

Quando gli eventi sono rari, numerosi e approssimativamente indipendenti, si usa spesso la distribuzione di Poisson:

Essa ha media e varianza uguali:

Nei dati assicurativi reali, però, spesso la varianza osservata è maggiore della media:

Questo fenomeno si chiama sovradispersione. Può nascere da eterogeneità non osservata tra assicurati, dipendenza tra eventi, differenze territoriali, comportamenti individuali o caratteristiche non catturate dal modello. In questi casi si usano modelli più flessibili, come la binomiale negativa, che consente una varianza maggiore della media.

4. Modelli di severità: Gamma, lognormale, Pareto e code pesanti

La severità misura quanto costa un sinistro. A differenza del numero di sinistri, l’importo del danno è una variabile positiva, spesso asimmetrica: molti sinistri sono piccoli o medi, pochi sono molto grandi. Per questo si usano distribuzioni come Gamma, lognormale, Weibull e Pareto.

La distribuzione lognormale è utile quando il logaritmo del danno è approssimativamente normale. Essa rappresenta bene fenomeni in cui i costi sono positivi e fortemente asimmetrici. La distribuzione Gamma è spesso usata per danni positivi con asimmetria moderata. La Pareto è particolarmente importante per danni estremi e code pesanti.

La coda della distribuzione è essenziale. Due portafogli possono avere la stessa perdita media ma rischi molto diversi se uno dei due ha una probabilità più elevata di sinistri catastrofici. Per una compagnia, infatti, non basta sapere:

Bisogna sapere anche:

per valori elevati di \(x\). È qui che entrano strumenti come la teoria dei valori estremi, i modelli di coda e i modelli catastrofali.

5. Il modello collettivo del rischio

Uno dei modelli fondamentali della teoria del rischio assicurativo è il modello collettivo:

Se \(N\) segue una Poisson di parametro \(\lambda\) e gli importi \(X_i\) sono indipendenti e identicamente distribuiti, allora \(S\) ha una distribuzione composta, detta Poisson composta. In questo caso:

Poiché:

si può scrivere:

Questa formula mostra che la variabilità della perdita aggregata dipende sia dal numero atteso di sinistri sia dalla dispersione degli importi. Danni molto variabili o con coda pesante rendono più incerto il risultato tecnico della compagnia.

6. La legge dei grandi numeri e la mutualizzazione del rischio

L’assicurazione si fonda sulla legge dei grandi numeri. Il singolo assicurato non può sapere se subirà il sinistro; la compagnia, aggregando molti rischi, può stimare con maggiore stabilità la frequenza collettiva.

Se \(N \sim \operatorname{Binomiale}(n,p)\), allora:

Il rapporto tra deviazione standard e media è:

Quando \(n\) cresce, questo rapporto diminuisce. Ciò significa che l’incertezza relativa del portafoglio si riduce. La compagnia non elimina il rischio assoluto, ma lo rende più prevedibile rispetto alla massa dei premi raccolti.

7. Dipendenza tra rischi e rischi sistemici

Una compagnia deve prestare grande attenzione alla dipendenza tra rischi. Se le perdite individuali sono \(L_1, L_2, \ldots, L_n\), la perdita complessiva è:

La varianza della somma non è soltanto la somma delle varianze, ma include anche le covarianze:

Se le covarianze sono positive, molti rischi tendono a manifestarsi insieme. Questo aumenta il rischio aggregato. È il caso dei rischi naturali, sanitari, finanziari o tecnologici sistemici. Per questa ragione le compagnie usano diversificazione geografica, limiti di esposizione, massimali, riassicurazione e modelli catastrofali.

8. Tariffazione individuale: il premio come media condizionata

Nella pratica non si assegna lo stesso premio a tutti gli assicurati. La compagnia cerca di stimare il rischio condizionato alle caratteristiche del soggetto o del bene assicurato. Se \(\mathbf{x}_i\) è il vettore delle caratteristiche dell’assicurato \(i\), il premio puro individuale può essere espresso come:

Le variabili possono includere età, area geografica, storia assicurativa, classe di merito, tipo di veicolo, valore dell’immobile, professione, franchigia, massimale, garanzie scelte e molti altri fattori. Il problema statistico è stimare:

Questa è una media condizionata: non si stima il rischio medio generale, ma il rischio medio di una classe di soggetti con certe caratteristiche.

9. GLM e modelli statistici moderni per la tariffazione

Uno degli strumenti più importanti nella tariffazione assicurativa moderna è il Generalized Linear Model, o GLM. I GLM permettono di collegare frequenza e severità dei sinistri a variabili esplicative.

Per la frequenza si può usare un modello di Poisson:

con:

Equivalentemente:

L’esponenziale garantisce che la frequenza attesa sia positiva. Per la severità si può usare, per esempio, un modello Gamma:

con:

Il premio puro può allora essere scomposto in:

In parole semplici:

Oltre ai GLM, la statistica assicurativa contemporanea usa modelli additivi generalizzati, alberi decisionali, random forest, gradient boosting, reti neurali, modelli bayesiani gerarchici e metodi di machine learning. Questi strumenti possono migliorare la capacità predittiva, ma devono essere usati con prudenza: un modello troppo complesso può adattarsi bene ai dati passati e generalizzare male al futuro.

10. Teoria della credibilità: esperienza individuale ed esperienza collettiva

Un problema classico è stabilire quanto peso assegnare all’esperienza passata di un singolo assicurato o di un piccolo gruppo. Se un assicurato non ha avuto sinistri per due anni, è davvero poco rischioso o è stato fortunato? Se una piccola categoria ha avuto molti sinistri, è davvero ad alto rischio o si tratta di fluttuazione casuale?

La teoria della credibilità risponde combinando l’esperienza individuale con quella collettiva. Una forma tipica è:

Qui \(\bar{X}\) è l’esperienza osservata del singolo o del gruppo, \(m\) è la media collettiva e \(Z\) è il fattore di credibilità, compreso tra 0 e 1.

Se i dati individuali sono numerosi e affidabili, \(Z\) sarà vicino a 1. Se invece i dati individuali sono pochi e rumorosi, \(Z\) sarà vicino a 0 e si darà più peso alla media collettiva. I modelli di Bühlmann e Bühlmann-Straub rappresentano una delle formalizzazioni più importanti di questa idea.

11. Bonus-malus e aggiornamento bayesiano del rischio

Il sistema bonus-malus, tipico della RC auto, può essere letto come una forma pratica di aggiornamento statistico. L’assicurato che non produce sinistri viene progressivamente spostato verso classi meno costose; quello che produce sinistri viene spostato verso classi più costose.

In termini bayesiani, si può immaginare che ogni assicurato abbia un livello di rischio ignoto \(\theta\). Prima di osservare i dati, la compagnia ha una distribuzione iniziale:

Dopo aver osservato i dati \(D\), aggiorna la stima:

Il bonus-malus non è una procedura bayesiana pura, perché incorpora norme, semplificazioni e strategie commerciali. Tuttavia l’idea sottostante è affine: l’esperienza passata fornisce informazione sul rischio futuro.

12. Riserve tecniche: sinistri noti, tardivi e futuri

Una compagnia non deve solo fissare premi corretti. Deve anche accantonare risorse per obbligazioni future. Le principali riserve sono la riserva premi e la riserva sinistri.

La riserva premi serve a coprire il rischio ancora in corso per contratti già emessi. La riserva sinistri serve a pagare sinistri già accaduti ma non ancora liquidati. Alcuni sinistri sono noti ma non ancora definiti; altri sono già accaduti ma non sono ancora stati denunciati. Questi ultimi sono chiamati IBNR, dall’inglese incurred but not reported.

La stima delle riserve usa metodi come Chain Ladder, Bornhuetter-Ferguson, Cape Cod, triangoli run-off, GLM, bootstrap, modelli bayesiani e simulazioni Monte Carlo. Nei triangoli di sviluppo, i dati vengono organizzati per anno di accadimento e anno di liquidazione. La parte osservata del triangolo viene usata per stimare la parte futura non ancora osservata.

13. Solvibilità: sostenibilità oltre la media

Una compagnia può avere premi corretti in media e tuttavia fallire. Il motivo è che la media non basta. Può verificarsi un anno eccezionalmente sfavorevole, una sequenza di sinistri gravi, un evento catastrofale, un errore di tariffazione o un aumento inatteso dei costi.

Per questo la compagnia deve stimare l’intera distribuzione della perdita aggregata:

Deve chiedersi:

dove \(A\) rappresenta le risorse disponibili, cioè premi, riserve, capitale e recuperi da riassicurazione. La sostenibilità richiede che la probabilità di superare le risorse disponibili sia sufficientemente bassa:

Qui \(\varepsilon\) è una piccola probabilità di insolvenza ritenuta accettabile o prevista dalla regolazione.

14. Value at Risk, Expected Shortfall e capitale

Uno strumento usato per misurare il rischio di perdita estrema è il Value at Risk. Il Value at Risk al livello \(\alpha\) è:

Per esempio, \(VaR_{99{,}5\%}(S)\) è una soglia tale che nel 99,5% degli scenari le perdite non dovrebbero superarla. Il capitale economico può essere pensato, in prima approssimazione, come la differenza tra una perdita estrema e la perdita attesa:

Il limite del VaR è che indica una soglia, ma non dice quanto gravi siano le perdite oltre quella soglia. Per questo si usa anche l’Expected Shortfall, o Tail Value at Risk:

L’Expected Shortfall considera la media degli scenari peggiori e fornisce una misura più sensibile alla coda della distribuzione.

15. Teoria della rovina: il modello di Cramér-Lundberg

Un contributo fondamentale alla matematica assicurativa viene dalla teoria della rovina, sviluppata a partire dai lavori di Filip Lundberg e Harald Cramér. Il modello classico considera il surplus della compagnia nel tempo:

Qui \(u\) è il capitale iniziale, \(c\) è il tasso di incasso dei premi, \(N(t)\) è il numero di sinistri fino al tempo \(t\), e \(X_i\) sono gli importi dei sinistri. La rovina avviene se:

per qualche istante \(t\). La probabilità di rovina è:

La condizione minima di sostenibilità è che il flusso dei premi superi la perdita attesa per unità di tempo:

Se questa condizione non vale, la compagnia incassa meno di quanto si attende di pagare e nel lungo periodo la rovina diventa strutturalmente probabile. Se invece la condizione vale, la compagnia può comunque fallire a causa di fluttuazioni avverse, ma la probabilità di rovina può essere controllata attraverso capitale iniziale, margini di premio e riassicurazione.

16. Riassicurazione: il rischio dell’assicuratore

Anche la compagnia assicurativa si assicura. La riassicurazione consente di trasferire parte del rischio a un altro soggetto, il riassicuratore. Questo è particolarmente importante per danni gravi, eventi catastrofali o portafogli concentrati.

Nella riassicurazione proporzionale, se la compagnia trattiene una quota \(a\), la sua perdita su un sinistro \(X\) è:

Il riassicuratore paga:

Nella riassicurazione excess of loss, la compagnia paga fino a una soglia \(M\), mentre il riassicuratore paga l’eccedenza. La perdita trattenuta dalla compagnia è:

mentre la perdita ceduta è:

La riassicurazione non elimina il rischio dal sistema, ma lo redistribuisce. Permette alla compagnia di ridurre la varianza, proteggersi da eventi estremi, liberare capitale e aumentare la propria capacità assuntiva.

17. Franchigia, scoperto e massimale come trasformazioni matematiche

Le clausole contrattuali non sono meri dettagli giuridici: sono trasformazioni matematiche della variabile aleatoria del danno.

Con una franchigia \(d\), l’assicuratore paga:

L’assicurato trattiene:

Con un massimale \(M\), l’assicuratore paga:

Con franchigia e massimale, l’indennizzo può essere scritto come:

Franchigie e scoperti riducono piccoli sinistri, abbassano i costi amministrativi, limitano il moral hazard e rendono più sostenibile la polizza. I massimali limitano l’esposizione massima della compagnia e sono essenziali per controllare la coda della distribuzione.

18. Selezione avversa e moral hazard

La statistica assicurativa deve tenere conto anche del comportamento umano. Due fenomeni sono centrali: selezione avversa e moral hazard.

La selezione avversa nasce quando chi conosce di essere più rischioso tende ad assicurarsi più volentieri. Se la compagnia stima una probabilità media \(p_A\), ma l’assicurato sa di avere una probabilità effettiva \(p_I\), e se:

allora la polizza può essere molto conveniente per l’assicurato e meno sostenibile per la compagnia. Il premio viene calcolato su:

ma il valore atteso reale per quell’assicurato è:

La polizza è conveniente in valore medio per l’assicurato se:

Il moral hazard, invece, nasce dopo la stipula della polizza. Se l’assicurato è completamente coperto, può ridurre la prudenza. In tal caso la probabilità del sinistro non è fissa, ma dipende dallo sforzo preventivo \(e\):

con \(p(e)\) decrescente rispetto allo sforzo. Franchigie, scoperti, bonus-malus ed esclusioni servono anche a mantenere un incentivo alla prudenza.

19. Contributi storici: dai fondamenti probabilistici alla matematica attuariale

La matematica assicurativa deriva da una lunga tradizione. Pascal e Fermat contribuirono alla nascita del calcolo delle probabilità a partire dai problemi dei giochi d’azzardo. Christiaan Huygens introdusse una delle prime trattazioni sistematiche della speranza matematica. Jacob Bernoulli, con l’Ars Conjectandi, diede forma alla legge dei grandi numeri, fondamento concettuale della mutualizzazione assicurativa.

Abraham de Moivre contribuì all’approssimazione normale della binomiale e alla matematica delle rendite. Edmond Halley costruì una delle prime tavole di mortalità scientifiche, mostrando come dati demografici potessero essere usati per valutare rendite e assicurazioni sulla vita. Laplace sviluppò la probabilità classica e l’inferenza applicata ai fenomeni sociali e demografici.

Benjamin Gompertz propose una legge della mortalità adulta, secondo cui la mortalità cresce approssimativamente in modo esponenziale con l’età; Makeham la modificò aggiungendo una componente indipendente dall’età. Queste leggi hanno avuto grande importanza nelle assicurazioni vita.

Nel campo della teoria del rischio non-life, Filip Lundberg e Harald Cramér furono centrali per la teoria della rovina. Hans Bühlmann sviluppò la credibility theory moderna. Karl Borch applicò utilità attesa, economia dell’incertezza e teoria dei giochi alla riassicurazione. Hans U. Gerber diede contributi rilevanti alla teoria del rischio e ai processi di surplus. Harry Panjer sviluppò metodi ricorsivi per calcolare distribuzioni aggregate dei sinistri. Thomas Mack è noto per il modello stocastico Chain Ladder nella riservazione. In epoca recente, autori come Wüthrich, Denuit e Charpentier hanno contribuito alla modellazione statistica moderna, ai GLM, al machine learning assicurativo e alla tariffazione non-life.

20. La convenienza per l’assicurato: il punto di vista del valore atteso

Passiamo ora dal punto di vista della compagnia a quello dell’assicurato. Se il premio reale è:

allora normalmente:

Dal punto di vista del puro valore monetario atteso, l’assicurato medio paga più di quanto riceverà in media come indennizzo. Il guadagno monetario atteso dell’assicurazione è:

Se \(P > E[L]\), allora:

In questo senso si può dire che, in media, l’assicurato paga anticipatamente e in modo certo un danno incerto. Se un danno atteso vale 100 euro e il premio è 150 euro, l’assicurato ha un valore atteso monetario negativo di 50 euro.

21. Perché l’assicurazione può essere razionale anche con valore atteso negativo

La conclusione precedente è corretta solo se l’assicurato valuta tutto in termini di valore monetario medio. Ma gli individui reali non valutano soltanto la media: valutano anche la dispersione, la possibilità di rovina, la liquidità e la gravità degli stati sfavorevoli.

Senza assicurazione, un soggetto con ricchezza iniziale \(W\) avrà:

se il sinistro non avviene, e:

se il sinistro avviene. L’utilità attesa senza assicurazione è:

Con assicurazione completa, il soggetto paga il premio \(P\) e conserva:

L’utilità con assicurazione è:

L’assicurazione è razionale se:

Se la funzione di utilità \(u\) è concava, il soggetto è avverso al rischio. La perdita di una somma grande produce una diminuzione di utilità molto più intensa del beneficio derivante dal risparmio di un piccolo premio. Per questo l’assicurazione può essere razionale anche quando:

22. Danno sostenibile e danno insolvibile

La distinzione cruciale è tra danni sopportabili e danni rovinosi. Se il danno massimo è piccolo rispetto al patrimonio o al reddito dell’assicurato, può essere razionale non assicurarsi e praticare una forma di autoassicurazione, cioè accantonare risorse proprie.

Se invece il danno è grande rispetto alla ricchezza disponibile, l’assicurazione diventa molto più sensata. La condizione può essere espressa confrontando il danno con la ricchezza:

Se questo rapporto è piccolo, il danno è assorbibile. Se è grande, il danno può compromettere gravemente la vita economica dell’assicurato.

Per esempio, se la probabilità di un danno da 300.000 euro è pari allo 0,1%, il valore atteso è:

Se il premio è 600 euro, l’assicurato perde in media 300 euro rispetto al valore atteso. Ma evita la possibilità di un danno da 300.000 euro, che potrebbe essere rovinoso. In questo caso la polizza è razionale non perché migliora la media, ma perché protegge da uno stato del mondo economicamente catastrofico.

23. La regola pratica: assicurare i rischi gravi, autoassicurare quelli piccoli

Da questo discorso deriva una regola pratica: ha senso assicurare soprattutto i rischi rari ma gravi, non necessariamente i rischi frequenti ma piccoli. Sono tipicamente assicurabili e razionali:

• responsabilità civile verso terzi;
• incendio o distruzione dell’abitazione;
• danni sanitari molto costosi non coperti da sistemi pubblici;
• invalidità permanente;
• morte del percettore principale di reddito, se vi sono familiari dipendenti;
• eventi catastrofali rispetto al patrimonio personale.

Sono invece meno razionali, dal punto di vista economico, le coperture di piccoli danni facilmente sostenibili, soprattutto se il premio contiene forti caricamenti. In questi casi la franchigia può essere una soluzione efficiente: l’assicurato trattiene i piccoli danni e trasferisce alla compagnia solo quelli rilevanti.

24. Quando l’assicurazione può convenire anche in valore medio

Esiste però un caso in cui l’assicurazione può essere conveniente anche in termini di valore monetario atteso: quando l’assicurato ha una probabilità reale di sinistro superiore a quella stimata dalla compagnia.

Supponiamo che la compagnia calcoli il premio usando \(p_A\), mentre il rischio reale dell’assicurato è \(p_I\). Se:

allora il valore atteso della copertura per l’assicurato è:

mentre il premio può essere basato su:

La polizza è vantaggiosa in valore medio se:

cioè:

Questo è il nucleo della selezione avversa. Chi conosce di essere più rischioso della media ha più incentivo ad assicurarsi; chi è meno rischioso può trovare il premio eccessivo e uscire dal mercato. Se la compagnia non riesce a distinguere bene i rischi, il portafoglio può deteriorarsi.

25. Premio, equità e sostenibilità: una tensione strutturale

L’assicurazione vive una tensione permanente tra mutualità e segmentazione. Se tutti pagano lo stesso premio, i soggetti meno rischiosi sovvenzionano quelli più rischiosi. Questo può essere desiderabile per ragioni sociali, ma può generare selezione avversa. Se invece ogni soggetto paga un premio perfettamente proporzionato al proprio rischio, la tariffazione è più sostenibile per la compagnia, ma può diventare socialmente problematica, perché i soggetti più fragili o esposti pagano di più.

Matematicamente, il premio individuale tende verso:

Socialmente, però, ci si può chiedere fino a che punto sia giusto usare tutte le variabili predittive disponibili. Il progresso statistico e algoritmico permette una segmentazione sempre più fine, ma non ogni variabile predittiva è necessariamente accettabile dal punto di vista etico, giuridico o politico.

26. Il senso economico profondo dell’assicurazione

L’assicurazione non elimina il danno dal mondo. Se una casa brucia, il danno reale esiste. Ciò che cambia è la sua distribuzione economica. Senza assicurazione, il danno cade interamente sul singolo. Con assicurazione, il danno viene distribuito tra molti assicurati attraverso il premio. La compagnia agisce come meccanismo tecnico di raccolta, calcolo, riserva, pagamento e redistribuzione.

Il premio pagato dall’assicurato non è dunque solo il prezzo di un rimborso atteso. È il prezzo di una trasformazione:

Dal lato della compagnia, la trasformazione inversa è sostenibile solo se una pluralità di premi certi copre statisticamente una pluralità di perdite incerte:

Ma la compagnia deve anche proteggersi dagli scenari estremi:

oppure:

27. Sintesi conclusiva