Probabilità, normalizzazione e valore atteso: due vie alla stessa struttura

Una delle proprietà fondamentali della probabilità è la normalizzazione: se \(A_1,\ldots,A_n\) sono eventi mutuamente esclusivi ed esaustivi, allora

\[ P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)=1. \]

Questa proprietà viene normalmente presentata all’interno della definizione assiomatica della probabilità. È però possibile arrivare alla stessa struttura seguendo una strada concettualmente diversa: partire da semplici pesi di credenza, introdurre un principio razionale di valutazione delle quantità certe e mostrare che proprio tale principio obbliga i pesi a normalizzarsi.

Le due costruzioni non sono due dimostrazioni indipendenti dello stesso teorema. Sono piuttosto due diversi procedimenti definitori. Nel primo si parte dalla probabilità e si definisce successivamente il valore atteso. Nel secondo si parte da un principio di valutazione e si scopre quali proprietà devono avere i pesi affinché possano svolgere il ruolo di probabilità.

1. La via assiomatica: prima la probabilità

Nel formalismo matematico standard si introduce una funzione \(P\) definita sugli eventi di uno spazio \(\Omega\). Tra le sue proprietà fondamentali vi sono la non negatività,

\[ P(A)\geq 0, \]

l’additività per eventi incompatibili,

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \qquad \text{se }A\cap B=\varnothing, \]

e la normalizzazione dell’evento certo:

\[ P(\Omega)=1. \]

Se \(A_1,\ldots,A_n\) costituiscono una partizione di \(\Omega\), cioè sono mutuamente esclusivi ed esaustivi,

\[ A_i\cap A_j=\varnothing \qquad (i\neq j), \]

e

\[ A_1\cup\cdots\cup A_n=\Omega, \]

allora per additività:

\[ P(\Omega) = P(A_1)+\cdots+P(A_n). \]

Poiché per assioma

\[ P(\Omega)=1, \]

si ottiene

\[ \boxed{\sum_{i=1}^{n}P(A_i)=1}. \]

In questa costruzione il numero \(1\) non deriva dall’additività. L’additività da sola fornirebbe infatti soltanto

\[ P(A_1)+\cdots+P(A_n)=P(\Omega). \]

È la scelta

\[ P(\Omega)=1 \]

a fissare l’unità di misura della probabilità.

Una volta definita in questo modo la probabilità, si introduce il valore atteso di una variabile aleatoria discreta \(X\), che assume i valori \(x_1,\ldots,x_n\), mediante

\[ E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_iP(A_i). \]

Se \(X\) è costante e vale \(U\) in tutti gli stati,

\[ X(\omega)=U \qquad \forall\omega\in\Omega, \]

allora

\[ E[X] = \sum_i U P(A_i) = U\sum_iP(A_i) = U. \]

Dunque, nella costruzione assiomatica, la proprietà

\[ \boxed{E[U]=U} \]

è una conseguenza della normalizzazione delle probabilità.

2. È possibile invertire il ragionamento?

Possiamo ora chiederci se sia possibile procedere nella direzione opposta.

Supponiamo di non avere ancora definito delle probabilità. Abbiamo soltanto una serie di eventi alternativi

\[ A_1,\ldots,A_n, \]

mutuamente esclusivi ed esaustivi, ai quali associamo dei numeri non negativi

\[ w_1,w_2,\ldots,w_n. \]

Per il momento non chiamiamo questi numeri probabilità. Li consideriamo semplicemente come pesi, eventualmente interpretabili come intensità relative delle nostre credenze.

Supponiamo inoltre di voler utilizzare questi pesi per valutare una variabile \(X\) che assume il valore \(x_i\) quando si verifica l’evento \(A_i\).

La forma più semplice di valutazione lineare è

\[ V(X)=\sum_{i=1}^{n}w_i x_i. \]

A questo punto non abbiamo ancora alcuna ragione matematica per pretendere che

\[ \sum_i w_i=1. \]

I pesi potrebbero, per esempio, essere

\[ 2,\;3,\;5 \]

oppure

\[ 0.2,\;0.3,\;0.4. \]

La linearità della formula non determina da sola la loro scala.

3. Un principio esterno: la valutazione di una certezza

Introduciamo ora un principio che non deriva dalla formula precedente, ma che imponiamo come requisito razionale della valutazione:

Se una quantità vale con certezza \(U\), la sua valutazione deve essere \(U\).

In simboli:

\[ \boxed{V(U)=U}. \]

Questo principio precede, dal punto di vista logico, la nozione probabilistica di valore atteso. Esprime semplicemente l’idea che una procedura di valutazione coerente non debba alterare ciò che è già certo.

Se un contratto restituisce 100 euro qualunque cosa accada, la presenza di diversi stati possibili del mondo non dovrebbe trasformare quei 100 euro in 80, 130 o in qualsiasi altro valore. La distinzione tra gli stati diviene irrilevante, perché tutti conducono allo stesso risultato.

È dunque naturale richiedere che una funzione di valutazione lasci invarianti le costanti:

\[ V(c)=c. \]

Questa è un’ipotesi esterna alla semplice additività dei pesi. Può essere considerata un requisito di coerenza logica della valutazione.

4. La variabile costante obbliga i pesi a normalizzarsi

Consideriamo ora la variabile \(X\) che assume lo stesso valore \(U\) qualunque evento si verifichi:

\[ x_1=x_2=\cdots=x_n=U. \]

Applicando la nostra formula di valutazione otteniamo

\[ V(X) = w_1U+w_2U+\cdots+w_nU. \]

Quindi

\[ V(X) = U(w_1+w_2+\cdots+w_n). \]

Ma \(X\) non è realmente incerta: vale \(U\) in ogni possibile stato. Il principio di valutazione della certezza richiede pertanto

\[ V(X)=U. \]

Di conseguenza:

\[ U(w_1+w_2+\cdots+w_n)=U. \]

Se \(U\neq0\),

\[ \boxed{w_1+w_2+\cdots+w_n=1}. \]

La normalizzazione emerge quindi come condizione necessaria affinché una media pesata valuti correttamente una costante.

In altri termini:

\[ \boxed{ V(U)=U \quad\Longrightarrow\quad \sum_i w_i=1 } \]

quando \(V\) ha la forma lineare

\[ V(X)=\sum_i w_ix_i. \]

5. Un esempio con tre scommesse

Il significato concreto di questa condizione diventa particolarmente chiaro se interpretiamo \(V\) come un principio di determinazione del prezzo equo di una scommessa.

Consideriamo tre eventi \(A_1,A_2,A_3\), mutuamente esclusivi ed esaustivi. Associamo a ciascun evento un contratto che paga 100 euro se quell’evento si verifica e zero altrimenti.

I tre payoff sono quindi

\[ X_i= \begin{cases} 100 & \text{se si verifica }A_i,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \]

Supponiamo che i pesi di credenza assegnati ai tre eventi siano

\[ w_1=0.2,\qquad w_2=0.3,\qquad w_3=0.4. \]

Se utilizziamo questi pesi per determinare il prezzo equo dei tre contratti, otteniamo rispettivamente

\[ 20,\qquad30,\qquad40. \]

Acquistare tutti e tre i contratti costa quindi

\[ 20+30+40=90. \]

Ma gli eventi sono esaustivi ed esclusivi: uno e uno solo dei tre si verificherà. Di conseguenza, uno dei tre contratti pagherà 100 euro e gli altri due zero.

Il portafoglio completo paga dunque certamente

\[ 100. \]

Abbiamo quindi un portafoglio acquistabile per 90 che restituisce certamente 100:

\[ 100-90=10. \]

Il guadagno di 10 non è un guadagno medio atteso su molte ripetizioni. È un guadagno certo nella singola realizzazione, indipendentemente da quale dei tre eventi si verifichi.

La valutazione non è quindi semplicemente “imprecisa”: è internamente incoerente. Attribuisce al portafoglio completo un valore diverso dal valore certo del suo payoff.

6. Che cosa accade se la somma dei pesi è maggiore di uno?

Consideriamo ora gli stessi tre eventi, ma assegniamo i pesi

\[ w_1=0.4,\qquad w_2=0.35,\qquad w_3=0.35. \]

La loro somma è

\[ w_1+w_2+w_3=1.10. \]

I tre contratti che pagano 100 in caso di successo vengono quindi valutati

\[ 40,\qquad35,\qquad35. \]

Il loro costo complessivo è

\[ 110. \]

Ma, ancora una volta, il portafoglio restituisce certamente soltanto 100.

Chi acquistasse il pacchetto pagherebbe quindi 110 per ricevere certamente 100:

\[ 100-110=-10. \]

In questo caso il vantaggio è dalla parte opposta. Se i prezzi possono essere utilizzati simmetricamente per comprare e vendere i contratti, una controparte può vendere l’intero pacchetto per 110 sapendo che dovrà pagare, qualunque evento si verifichi, soltanto 100.

Ottiene così un margine certo:

\[ 110-100=10. \]

Quando la somma dei pesi è inferiore a uno, il pacchetto completo viene sottovalutato; quando è superiore a uno, viene sopravvalutato. Soltanto quando

\[ \sum_iw_i=1 \]

il prezzo del pacchetto coincide con il suo payoff certo.

7. In che senso la situazione è “non equa”?

È importante precisare il significato dell’espressione scommessa equa.

Una scommessa rischiosa può naturalmente produrre una vincita o una perdita. Questo non costituisce di per sé un problema. L’equità non significa che ogni singola scommessa debba terminare senza guadagno o perdita.

Il problema nasce quando una combinazione di scommesse elimina completamente l’incertezza ma conserva una differenza tra prezzo e payoff.

Se il portafoglio completo costa \(C\) e restituisce certamente \(U\), il suo utile netto è

\[ G=U-C. \]

Se

\[ C<U, \]

il compratore ottiene un guadagno certo.

Se invece

\[ C>U, \]

la posizione opposta — vendere il portafoglio, se il mercato consente di assumere simmetricamente entrambe le posizioni — produce un guadagno certo.

La condizione di equilibrio è quindi

\[ C=U. \]

Ma nella nostra rappresentazione

\[ C=U\sum_iw_i. \]

Pertanto:

\[ U\sum_iw_i=U \]

e dunque

\[ \boxed{\sum_iw_i=1}. \]

In questo senso la normalizzazione può essere collegata a un principio di assenza di arbitraggio: una decomposizione di una quantità certa in contratti contingenti non deve creare o distruggere valore soltanto per il fatto di averla suddivisa tra diversi stati possibili.

8. Un esempio di investimento in scenari economici alternativi

La stessa logica non riguarda soltanto le scommesse. Può essere applicata alla valutazione di investimenti e titoli finanziari.

Supponiamo, in un modello estremamente semplificato, che tra un anno l’economia possa trovarsi in uno e uno solo di tre stati:

\[ A_1=\text{recessione}, \]

\[ A_2=\text{stagnazione}, \]

\[ A_3=\text{espansione}. \]

I tre scenari sono, per ipotesi, esclusivi ed esaustivi.

Immaginiamo ora tre titoli elementari. Il primo paga 1.000 euro soltanto in caso di recessione, il secondo 1.000 euro soltanto in caso di stagnazione e il terzo 1.000 euro soltanto in caso di espansione.

Presi separatamente, i tre titoli sono incerti. Ma acquistandoli tutti insieme si costruisce un portafoglio che paga

\[ 1.000 \]

in qualunque stato dell’economia.

Supponiamo di attribuire agli scenari i pesi

\[ w_1=0.25,\qquad w_2=0.30,\qquad w_3=0.35. \]

La somma è

\[ 0.25+0.30+0.35=0.90. \]

Se il valore dei tre titoli viene calcolato moltiplicando il payoff per il rispettivo peso, essi valgono

\[ 250,\qquad300,\qquad350. \]

Il portafoglio completo viene quindi valutato

\[ 900. \]

Ma il portafoglio produce 1.000 euro in ogni scenario. Il modello sta quindi affermando contemporaneamente che un certo insieme di attività vale 900 e che lo stesso insieme equivale a un pagamento certo di 1.000.

Il problema non dipende da quale scenario economico riteniamo più plausibile. Deriva dalla struttura della valutazione stessa.

Se non consideriamo tassi di interesse, preferenze temporali, rischio di insolvenza o altri fattori, un pagamento certo di 1.000 nello stesso istante temporale deve essere valutato 1.000. Una valutazione pari a 900 viola il principio

\[ V(c)=c. \]

9. Una precisazione importante sugli investimenti

Negli investimenti reali bisogna però distinguere questo argomento astratto dal prezzo temporale del denaro.

Se 1.000 euro vengono pagati tra un anno, il loro valore oggi può perfettamente essere inferiore a 1.000 euro a causa del tasso di interesse. In tal caso non sarebbe corretto imporre semplicemente

\[ V(1000)=1000 \]

confrontando quantità riferite a date diverse.

Il principio corretto richiede che tutti i valori siano riportati allo stesso istante temporale o alla stessa unità di conto. Se \(D\) è il fattore di sconto, un pagamento certo futuro \(U\) può avere oggi valore

\[ DU. \]

Anche in questo caso, tuttavia, la struttura probabilistica rimane la stessa. Se tutti gli stati producono il medesimo pagamento futuro \(U\), il valore complessivo deve essere

\[ DU, \]

non

\[ DU\sum_iw_i \]

con una somma arbitraria dei pesi.

Perché le due espressioni coincidano deve ancora valere

\[ \sum_iw_i=1. \]

Il fattore di sconto modifica il valore temporale del payoff, ma non elimina la necessità di normalizzare i pesi degli stati.

10. Quando i pesi diventano probabilità

A questo punto i numeri \(w_i\) possiedono due proprietà essenziali:

\[ w_i\geq0 \]

e

\[ \sum_iw_i=1. \]

Se gli \(A_i\) rappresentano una partizione dello spazio delle possibilità, questi pesi hanno precisamente la struttura richiesta alle probabilità associate agli eventi elementari.

Possiamo quindi porre

\[ p_i=w_i=P(A_i). \]

La funzione di valutazione diventa allora

\[ V(X)=\sum_i p_i x_i. \]

Ed è proprio questa la definizione usuale del valore atteso:

\[ \boxed{E[X]=\sum_i p_ix_i}. \]

In questa seconda costruzione, quindi, l’ordine logico è invertito rispetto alla presentazione assiomatica.

Non diciamo inizialmente:

\[ \sum_i p_i=1 \]

e da ciò deduciamo

\[ E[U]=U. \]

Partiamo invece dal requisito

\[ V[U]=U, \]

applicato a una valutazione lineare basata su pesi ancora non normalizzati, e ricaviamo

\[ \sum_iw_i=1. \]

Solo successivamente riconosciamo nei \(w_i\) dei pesi probabilistici e denominiamo \(V\) valore atteso.

11. Le due direzioni del ragionamento

Possiamo ora mettere a confronto chiaramente i due procedimenti.

Procedimento assiomatico

Si definisce anzitutto una probabilità imponendo

\[ P(\Omega)=1. \]

Per una partizione:

\[ \sum_iP(A_i)=1. \]

Si definisce poi

\[ E[X]=\sum_iP(A_i)x_i. \]

Ne segue che, per una costante \(U\),

\[ E[U] = U\sum_iP(A_i) = U. \]

Lo schema logico è quindi

\[ \boxed{ \text{normalizzazione} \Longrightarrow E[U]=U }. \]

Procedimento valutativo

Si introducono invece inizialmente dei pesi \(w_i\) e una valutazione lineare

\[ V(X)=\sum_iw_ix_i. \]

Si impone dall’esterno il principio razionale

\[ V[U]=U. \]

Poiché per una variabile costante

\[ V[U]=U\sum_iw_i, \]

deve essere

\[ \sum_iw_i=1. \]

A questo punto i pesi normalizzati possono essere identificati con le probabilità:

\[ w_i=p_i. \]

E la funzione \(V\) diventa il valore atteso:

\[ E[X]=\sum_i p_ix_i. \]

Lo schema logico è dunque

\[ \boxed{ V[U]=U \Longrightarrow \sum_iw_i=1 \Longrightarrow w_i=p_i \Longrightarrow E[X]=\sum_i p_ix_i }. \]

12. Non una dimostrazione assoluta, ma una scelta dei principi primitivi

È importante comprendere che la seconda costruzione non “dimostra” la normalizzazione senza assumere nulla.

Ogni costruzione matematica deve partire da alcuni principi primitivi.

Nella teoria assiomatica della probabilità assumiamo direttamente

\[ P(\Omega)=1. \]

Nella costruzione valutativa assumiamo invece come principio primitivo

\[ V(c)=c \]

per ogni quantità certa \(c\), insieme alla forma lineare della valutazione.

La normalizzazione viene quindi trasferita da un punto della teoria a un altro.

Nel primo approccio è un assioma della misura di probabilità; nel secondo è una conseguenza del principio secondo cui una certezza deve essere valutata per ciò che è.

Questa seconda prospettiva ha però un vantaggio concettuale: rende evidente perché i pesi di una valutazione debbano sommare a uno.

Se non lo facessero, una quantità identica in tutti gli stati verrebbe valutata diversamente dal proprio valore.

Per esempio, se

\[ w_1+w_2+w_3=0.8, \]

allora una quantità certa pari a 100 verrebbe valutata come

\[ V(100)=100(0.8)=80. \]

Se invece

\[ w_1+w_2+w_3=1.2, \]

la stessa certezza verrebbe valutata

\[ V(100)=120. \]

Entrambe le situazioni contraddicono il requisito

\[ V(100)=100. \]

Gli esempi delle scommesse mostrano inoltre che questa contraddizione può avere una conseguenza operativa. Se i valori \(V\) sono interpretati come prezzi ai quali è possibile comprare e vendere i contratti, una mancata normalizzazione consente di costruire un portafoglio privo di rischio il cui prezzo è diverso dal suo payoff certo.

In un mercato ideale in cui sia possibile assumere entrambe le posizioni agli stessi prezzi, tale discrepanza produce un arbitraggio: un guadagno certo senza esposizione all’incertezza degli eventi.

La condizione

\[ \sum_iw_i=1 \]

non appare allora come una semplice convenzione numerica: è precisamente ciò che rende la valutazione invariante rispetto alla scomposizione di una certezza in diversi stati possibili.

13. La probabilità come peso di una media coerente

Questa prospettiva permette anche di comprendere più profondamente il significato matematico della probabilità nel valore atteso.

Il valore atteso non è una somma qualunque:

\[ E[X]=\sum_i p_ix_i. \]

È una media ponderata. E affinché una combinazione lineare sia una media, i suoi coefficienti devono soddisfare

\[ p_i\geq0 \qquad\text{e}\qquad \sum_i p_i=1. \]

Questa proprietà garantisce, tra l’altro, che una costante rimanga invariata:

\[ E[c] = \sum_i p_ic = c\sum_i p_i = c. \]

Possiamo dunque leggere la normalizzazione anche in questo modo:

Le probabilità sono precisamente quei pesi che permettono di trasformare la somma pesata dei possibili valori in una media coerente, cioè in una valutazione che lascia inalterate le quantità certe.

Conclusione

La relazione

\[ \sum_i p_i=1 \]

può essere introdotta in due modi concettualmente distinti.

Nel procedimento assiomatico essa fa parte della definizione della probabilità:

\[ P(\Omega)=1. \]

Definendo successivamente il valore atteso,

\[ E[X]=\sum_i p_ix_i, \]

si ottiene come conseguenza

\[ E[c]=c. \]

Nel procedimento valutativo si parte invece da pesi \(w_i\), non ancora necessariamente probabilistici, e da una funzione lineare

\[ V(X)=\sum_iw_ix_i. \]

Si introduce quindi un principio esterno di coerenza:

\[ \boxed{V[c]=c}. \]

Applicandolo a una quantità costante si ottiene necessariamente

\[ \boxed{\sum_iw_i=1}. \]

I pesi normalizzati possono allora essere identificati con le probabilità e la funzione di valutazione diventa il valore atteso:

\[ \boxed{E[X]=\sum_i p_ix_i}. \]

Gli esempi delle scommesse e degli investimenti rendono visibile il significato economico di questa proprietà. Se i pesi sommassero a meno di uno, un insieme di contratti che riproduce una quantità certa verrebbe valutato meno della quantità certa stessa; se sommassero a più di uno, verrebbe valutato di più. In condizioni ideali di compravendita simmetrica, questa incoerenza potrebbe essere trasformata in un guadagno certo da una delle parti.

Le due costruzioni descrivono quindi la stessa struttura matematica, ma ne scelgono come primitivi elementi differenti. Nella prima è primitiva la normalizzazione della probabilità; nella seconda è primitivo il principio di conservazione delle certezze.

La relazione profonda fra le due idee può essere sintetizzata nella equivalenza strutturale

\[ \boxed{ \sum_i p_i=1 \quad\Longleftrightarrow\quad E[c]=c \text{ per ogni costante }c } \]

quando il valore atteso è rappresentato come combinazione lineare degli esiti.

In questo senso, la normalizzazione delle probabilità e il principio secondo cui l’attesa di una certezza è la certezza stessa non sono due proprietà accidentali della teoria: sono due formulazioni della medesima esigenza di coerenza. La prima la esprime come proprietà della misura degli eventi; la seconda come proprietà della valutazione delle conseguenze.

HumAI.it – Alvise Giubelli