Il problema del bargaining riguarda situazioni in cui due agenti razionali devono raggiungere un accordo sulla divisione di una risorsa indivisibile o perfettamente divisibile, come una somma di denaro, un surplus contrattuale o un beneficio economico. Il modello di bargaining alternato di Rubinstein, introdotto nel 1982, fornisce una formalizzazione estremamente semplice e potente di questo problema, mostrando come il potere contrattuale emerga endogenamente dalla struttura temporale della negoziazione e dal diverso grado di pazienza degli agenti.

Il contesto di base è quello di una “torta” di dimensione unitaria, normalizzata a 1 per semplicità. Due giocatori, indicati con 1 e 2, devono decidere come suddividere questa torta. Il gioco si svolge nel tempo in modo discreto e potenzialmente infinito. Al tempo iniziale t=0 il giocatore 1 formula una proposta di divisione: se propone di tenere per sé una quota x∈[0,1], al giocatore 2 spetta la quota residua 1−x. Il giocatore 2 osserva l’offerta e decide se accettarla o rifiutarla. Se l’offerta viene accettata, il gioco termina immediatamente e la divisione viene implementata. Se invece viene rifiutata, il gioco prosegue al periodo successivo, t=1, nel quale i ruoli si invertono: è il giocatore 2 a formulare una controproposta, e il giocatore 1 a decidere se accettare o rifiutare. Questo processo continua alternando i ruoli dei due giocatori all’infinito, finché non viene raggiunto un accordo.

Un elemento centrale del modello è la presenza del tempo come costo economico. Ogni giocatore preferisce ricevere una certa quota della torta prima piuttosto che dopo. Questa impazienza è formalizzata tramite un fattore di sconto intertemporale. Il giocatore i, con i=1, è caratterizzato da un fattore di sconto δi∈(0,1). Se il giocatore i riceve una quota qi della torta al tempo t, la sua utilità è data da

Il significato intuitivo di questa espressione è semplice: la stessa quota qi vale meno quanto più tardi viene ricevuta, e tanto più rapidamente il valore decresce quanto più il giocatore è impaziente, cioè quanto più piccolo è il suo fattore di sconto δi. Un giocatore con δi vicino a 1 è molto paziente e soffre poco il ritardo, mentre un giocatore con δi basso attribuisce un costo elevato all’attesa.

Il modello si fonda su alcune ipotesi forti ma chiaramente definite. La prima è quella di razionalità perfetta. Ogni giocatore massimizza la propria utilità attesa e, nel farlo, anticipa correttamente il comportamento dell’avversario in ogni possibile fase futura del gioco. Questo implica che i giocatori utilizzano l’induzione all’indietro, anche se il gioco ha un orizzonte temporale infinito. La seconda ipotesi è quella di informazione completa, o informazione massima. Entrambi i giocatori conoscono la struttura del gioco, i fattori di sconto propri e dell’avversario, e sanno che anche l’altro è razionale e consapevole di queste informazioni. Queste conoscenze sono di conoscenza comune. Un’ulteriore ipotesi è che gli impegni siano credibili: se un’offerta viene rifiutata, il gioco passa davvero al periodo successivo, e se viene accettata, l’accordo viene implementato senza possibilità di rinegoziazione. Infine, non vi sono costi fissi di accordo o di rottura delle trattative: l’unico costo del ritardo è quello incorporato nello sconto temporale.

Per analizzare il gioco si utilizza il concetto di equilibrio perfetto nei sottogiochi, o subgame perfect equilibrium (SPE). Questo concetto richiede che le strategie dei giocatori costituiscano un equilibrio di Nash non solo nel gioco complessivo, ma in ogni sottogioco che può originarsi dopo qualsiasi storia possibile. In un contesto dinamico come questo, lo SPE elimina le minacce non credibili e garantisce che il comportamento previsto sia coerente in ogni fase della negoziazione.

Un’idea cruciale dell’analisi di Rubinstein è la stazionarietà. Poiché la struttura del gioco è la stessa ogni volta che un determinato giocatore ha il turno di fare un’offerta, è naturale cercare un equilibrio in cui le strategie non dipendano dal tempo assoluto, ma solo da chi muove. Indichiamo con x la quota che il giocatore 1 ottiene quando è lui a fare un’offerta, e con y la quota che il giocatore 1 ottiene quando è il giocatore 2 a fare un’offerta. Di conseguenza, quando 1 propone, 2 riceve 1−x, e quando 2 propone, 2 riceve 1−y.

Consideriamo ora le condizioni di accettazione, che derivano direttamente dalla razionalità. Quando il giocatore 2 riceve un’offerta al tempo in cui il giocatore 1 propone, deve confrontare due alternative. Accettando immediatamente, ottiene la quota 1−x subito. Rifiutando, rinvia l’accordo di almeno un periodo, al termine del quale potrà fare una controproposta. Se il gioco segue l’equilibrio stazionario, il valore per il giocatore 2 del rifiuto è pari all’utilità che egli si aspetta di ottenere nel periodo successivo, scontata dal fattore δ2 In equilibrio, quando 2 propone, egli ottiene 1−y, ma tale payoff è disponibile solo al tempo successivo. Pertanto, il giocatore 2 accetterà l’offerta di 1 se e solo se ciò che ottiene subito accettando è almeno pari a ciò che otterrebbe rifiutando e aspettando, tenendo conto dello sconto temporale. Formalmente, la condizione di accettazione di 2 è

Questa disuguaglianza esprime in modo trasparente l’intuizione economica: il beneficio immediato dell’accettazione deve essere almeno uguale al valore atteso, ma scontato, della prosecuzione della trattativa.

Un ragionamento del tutto analogo vale per il giocatore 1 quando riceve un’offerta dal giocatore 2. Accettando, il giocatore 1 ottiene immediatamente la quota y. Rifiutando, attende un periodo e, se il gioco continua secondo l’equilibrio, farà una nuova offerta dalla quale otterrà x, ma solo dopo aver scontato il valore per il tempo di attesa. La condizione di accettazione per il giocatore 1 è quindi

Il risultato fondamentale del modello di Rubinstein è che esiste un unico equilibrio perfetto nei sottogiochi in cui l’accordo viene raggiunto immediatamente al tempo iniziale, senza alcun ritardo, e la divisione della torta è esattamente quella appena descritta. L’apparente paradosso è che, pur essendo il gioco potenzialmente infinito, la negoziazione si conclude subito. L’intuizione è che il ritardo è inefficiente e costoso per entrambi, e che, grazie alla struttura di equilibrio, ciascun giocatore anticipa perfettamente ciò che accadrebbe in futuro.

Dal punto di vista economico, il risultato ha interpretazioni molto chiare. In primo luogo, esiste un vantaggio del primo offerente, anche se spesso quantitativamente piccolo. In secondo luogo, il potere contrattuale dipende in modo cruciale dalla pazienza relativa. Se il giocatore 1 è più paziente del giocatore 2, cioè se δ1>δ2 allora la quota x che ottiene in equilibrio è maggiore. Essere pazienti significa poter credibilmente minacciare di aspettare, e questa minaccia si traduce in una quota maggiore della torta. Il tempo, in questo senso, diventa una vera e propria arma strategica.

Il quadro cambia in modo significativo se alcune delle ipotesi fondamentali vengono meno. Se l’informazione non è completa, ad esempio perché i giocatori non conoscono con certezza il fattore di sconto dell’avversario, il bargaining può diventare uno strumento di segnalazione o di screening. Un giocatore può ritardare strategicamente l’accordo per apparire più paziente di quanto non sia realmente, e l’esito può includere ritardi inefficienti o accordi differenti da quelli previsti dal modello di base. Se la razionalità è limitata, come spesso emerge negli esperimenti di laboratorio, i giocatori possono fare offerte più eque del previsto o rifiutare proposte che, secondo il modello, sarebbero razionalmente accettabili. Se esistono costi fissi di ritardo o un rischio di rottura definitiva delle trattative, gli incentivi cambiano ancora, e gli accordi possono essere raggiunti più rapidamente o con concessioni maggiori per evitare il fallimento. Infine, se l’orizzonte temporale è finito e noto, l’induzione all’indietro genera esiti molto diversi, spesso estremamente sbilanciati a favore dell’ultimo offerente.

Nonostante queste limitazioni, l’utilità scientifica del modello di Rubinstein è enorme. Esso funge da benchmark teorico fondamentale per lo studio della negoziazione, analogamente a come il modello di Nash funge da riferimento per la cooperazione statica o il modello di Arrow-Debreu per l’analisi dei mercati competitivi. Il modello fornisce una microfondazione rigorosa del potere contrattuale, mostrando che esso non è un dato esogeno, ma emerge da caratteristiche osservabili come la pazienza, la struttura temporale e le istituzioni che regolano la contrattazione. Inoltre, costituisce la base per un’ampia famiglia di modelli più realistici, che introducono asimmetrie informative, costi di negoziazione, incertezza o interazioni con mercati più ampi.

Il motivo per cui un modello così astratto e apparentemente poco realistico risulta comunque estremamente utile risiede nel suo ruolo epistemologico. Un modello teorico non ha come obiettivo primario quello di descrivere fedelmente ogni dettaglio del mondo reale, ma quello di isolare un meccanismo causale fondamentale. Il modello di Rubinstein mostra in modo cristallino che, se gli agenti sono razionali e informati, la sola presenza del tempo e dell’impazienza è sufficiente a determinare una divisione precisa del surplus. Questo risultato fornisce una previsione condizionale: se nella realtà osserviamo esiti diversi, sappiamo che devono essere all’opera fattori ulteriori, come l’informazione incompleta, le norme sociali o i limiti cognitivi. In questo senso, l’astrazione non è una debolezza, ma una forza, perché consente di capire meglio sia ciò che il modello spiega sia ciò che, intenzionalmente, lascia fuori.